Cuntz-Algebra

In der Funktionalanalysis sind die sogenannten Cuntz-Algebren ${𝒪}_n$ (nach Joachim Cuntz) eine spezielle Klasse von C*-Algebren, die von n paarweise orthogonalen Isometrien auf einem separablen Hilbertraum erzeugt werden.

Definition

Sei $H$ ein separabler unendlichdimensionaler Hilbertraum. Für eine natürliche Zahl $n\ge 2$ seien $S_1,\dots ,S_n\in ℒ(H)$ Isometrien auf H, d. h., es gilt $S_i^{*}{S}_i=1$ für $1\le i\le n$. Zudem sollen sie die Eigenschaft

$\sum _{i=1}^n{S}_i{S}_i^{*}=1$

erfüllen, die Bildprojektoren sind also paarweise orthogonal. Für den Fall $n=\mathrm{\infty }$ fordert man eine Folge von Isometrien $S_1,S_2,S_3,\dots$ mit der Eigenschaft

$\sum _{i=1}^k{S}_i{S}_i^{*}\le 1$ für alle $k\in \mathbb{N}.$

Man definiert nun

${𝒪}_n=C^{*}(S_1,\dots ,S_n)$

als die von $S_1,\dots ,S_n$ erzeugte C*-Unteralgebra in $ℒ(H)$. Um eine einheitliche Notation zu wahren, behält man diese Schreibweise auch im Fall $n=\mathrm{\infty }$ bei.

Eigenschaften

Die Cuntz-Algebra ${𝒪}_n$ hat eine Reihe von bemerkenswerten Eigenschaften, sie ist ein Beispiel für eine separable, unitale und einfache C*-Algebra.

Eindeutigkeit

Sind ${\tilde{S}}_1,\dots ,{\tilde{S}}_n\in ℒ(H)$ weitere Isometrien mit $\sum _{i=1}^n{\tilde{S}}_i{\tilde{S}}_i^{*}=1$, so folgt

$C^{*}(S_1,\dots ,S_n)\simeq C^{*}({\tilde{S}}_1,\dots ,{\tilde{S}}_n).$

Die Isomorphieklasse hängt also nicht von der Wahl der Erzeuger ab. Die Schreibweise ${𝒪}_n$, die nicht auf die Erzeuger $S_1,\dots ,S_n$ zurückgreift, wird damit gerechtfertigt.

Eine besondere Rolle bei der Untersuchung von ${𝒪}_n$ spielt die C*-Unteralgebra ${ℱ}^n$, die von Elementen der Form $S_{i_1}{S}_{i_2}\dots S_{i_k}{S}_{j_k}^{*}{S}_{j_{k-1}}^{*}\dots S_{j_1}^{*}$ mit $k\in \mathbb{N},1\le i_l,j_l\le n$ erzeugt wird. Man kann zeigen, dass diese zur UHF-Algebra zur übernatürlichen Zahl $n^{\mathrm{\infty }}$ isomorph ist. Setzt man einen Erzeuger fest, zum Beispiel $V=S_1$ und schreibt $V^{-1}=S_1^{*}$, so existieren Abbildungen $F_i:{𝒪}_n\to {ℱ}^n$, sodass jedes $A\in {𝒪}_n$ dargestellt werden kann als

$A=\sum _{i=-\mathrm{\infty }}^{-1}{V}^i{F}_i(A)+F_0(A)+\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{F}_i(A)V^i$.

Ein wichtiger Schritt im Beweis obiger Eindeutigkeitseigenschaft ist es, diese $F_i(A)$ analog zu Fourierkoeffizienten in einer Laurentreihe zu deuten. Dadurch ist es möglich zu zeigen, dass auf dem rein algebraischen Erzeugnis von $S_1,\dots ,S_n,S_1^{*},\dots ,S_n^{*}$ nur eine C*-Norm existieren kann, womit die Behauptung gezeigt ist.

Einfachheit

Eine C*-Algebra heißt einfach, falls sie keine nicht-trivialen abgeschlossenen zweiseitigen Ideale besitzt. ${𝒪}_n$ ist sogar im algebraischen Sinne einfach.

Satz: Sei $0\ne X\in {𝒪}_n$. Dann existieren $A,B\in {𝒪}_n$ mit $AXB=1$.

Außerdem sind Cuntz-Algebren in folgendem Sinne mit einfachen, unitalen, unendlichen C*-Algebren verwandt.

Satz: Sei $𝒜$ eine einfache, unendliche, unitale C*-Algebra. Dann existiert eine C*-Unteralgebra von $𝒜$, die isomorph zu ${𝒪}_{\mathrm{\infty }}$ ist. Für endliche $n\ge 2$ existiert eine C*-Unteralgebra $ℬ\subset 𝒜$, die ein Ideal $𝒥$ enthält, sodass ${𝒪}_n\simeq ℬ/𝒥$.

Klassifikation

Es sei ${𝒪}_2=C^{*}(S_1,S_2)$ wie oben. Definiert man ${\hat{S}}_1=S_1^2,{\hat{S}}_2=S_1{S}_2,{\hat{S}}_3=S_2$, so sind ${\hat{S}}_1,{\hat{S}}_2,{\hat{S}}_3$ ebenfalls Isometrien mit ${\hat{S}}_1{\hat{S}}_1^{*}+{\hat{S}}_2{\hat{S}}_2^{*}+{\hat{S}}_3{\hat{S}}_3^{*}=1$ und es gilt offensichtlich $C^{*}({\hat{S}}_1,{\hat{S}}_2,{\hat{S}}_3)\subset C^{*}(S_1,S_2)$.

Man erhält auf diese Weise die Inklusionen

${𝒪}_{\mathrm{\infty }}\subset {𝒪}_n\subset {𝒪}_2$.

Mit K-theoretischen Methoden zeigt man, dass ${𝒪}_n$ und ${𝒪}_m$ nicht isomorph sind, falls $n\ne m$. Falls $n$ endlich ist, so berechnet sich die $K_0$-Gruppe von ${𝒪}_n$ zu ${\mathbb{Z}}_{n-1}$. Für den Fall $n=\mathrm{\infty }$ ergibt sich $K_0=\mathbb{Z}$. Da die $K_0$-Gruppe eine Isomorphie-Invariante ist, folgt sofort die Behauptung.

Darstellung als Kreuzprodukt

Auf ${ℱ}^n$ existiert ein *-Automorphismus $\mathrm{\Phi }$, sodass ${𝒪}_n\simeq {ℱ}^n{⋊}_{\mathrm{\Phi }}\mathbb{Z}$. Da ${ℱ}^n$ als eine UHF-Algebra nuklear ist, folgt aus dieser Darstellung als Kreuzprodukt, dass auch ${𝒪}_n$ nuklear ist.

Literatur

• Vorlage:Internetquelle
• K. R. Davidson: C*-Algebras by Example, American Mathematical Society (1996), ISBN 0-821-80599-1