Chow-Gruppe

In der algebraischen Geometrie, einem Teilgebiet der Mathematik, sind Chow-Gruppen eine wichtige Invariante von Varietäten.

Definition

Sei $X$ eine glatte, irreduzible, projektive Varietät über einem algebraisch abgeschlossenen Körper.

Die Gruppe der algebraischen Zykel der Kodimension i

${𝒵}^i(X)$

ist definiert als die freie abelsche Gruppe erzeugt von den irreduziblen (nicht notwendig glatten) Untervarietäten $W\subset X$ der Kodimension $i$. Ein Element $Z\in {𝒵}^i(X)$ ist also eine endliche Summe

$Z=\sum _{\alpha }{n}_{\alpha }{W}_{\alpha }$

mit $n_{\alpha }\in \mathbb{Z}$ und $W_{\alpha }\subset X$ irreduzible Untervarietät der Kodimension $i$.

Zwei Untervarietäten

$Y,Z\subset X$

heißen rational äquivalent, wenn es eine Untervarietät

$V\subset X\times P^1$, welche flach über $P^1$ ist,

sowie $a,b\in P^1$ mit

$p{r}_X(V\cap X\times \left\{a\right\})=Y,p{r}_X(V\cap X\times \left\{b\right\})=Z$

gibt. Rationale Äquivalenz definiert eine Äquivalenzrelation auf der Zykelgruppe ${𝒵}^i(X)$.

Die Chow-Gruppe $C{H}^i(X)$ ist definiert als Quotient der Zykel-Gruppe modulo rationaler Äquivalenz:

$C{H}^i(X)={𝒵}^i(X)/\sim$.

Chow-Ring

Das Schnittprodukt $\times$ von Untervarietäten (anschaulich: modulo rationaler Äquivalenz bringt man Untervarietäten in allgemeine Lage und nimmt dann ihren Durchschnitt) definiert eine Abbildung

$C{H}^i(X)\otimes C{H}^j(X)\to C{H}^{i+j}(X)$

für alle $i,j$. Der Chow-Ring ist die direkte Summe der Chow-Gruppen

$CH(X)=\underset{i=0}{\overset{\mathrm{\infty }}{⨁}}C{H}^i(X)$

mit der durch das Schnittprodukt definierten Multiplikation.

Mittels des Schnittprodukts $\times :C{H}^k(X)\otimes C{H}^l(X)\to C{H}^{k+l}(X)$ definiert man das globale Schnittprodukt $\cdot :C{H}^k(X)\otimes C{H}^l(X)\to C{H}^{k+l-\dim (X)}(X)$ durch

$x\cdot y:={\mathrm{\Delta }}^{*}(x\times y)$

für die diagonale Einbettung $\mathrm{\Delta }:X\to X\times X$.

Beispiele

• Für jede glatte, irreduzible Varietät ist

$C{H}^0(X)=\mathbb{Z}$.

• $C{H}^1(X)$ ist die Picardgruppe

$C{H}^1(X)=Pic(X)$.

• Für den $n$-dimensionalen affinen Raum $A^n$ gilt

$C{H}^k(A^n)=0$ für $k=0,n$,

$C{H}^n(A^n)=\mathbb{Z}$.

• Für den $n$-dimensionalen projektiven Raum $P^n$ gilt

$C{H}^k(P^n)=\mathbb{Z}$ für $0\le k\le n+1$

$C{H}^k(P^n)=0$ für $k>n+1$

Beziehung zur algebraischen K-Theorie

Sei $K(X)$ der Funktionenkörper der Varietät $X$ und $K_{*}^M(K(X))$ die Milnorsche K-Theorie dieses Körpers. Dann ist

$C{H}^k(X)=\mathrm{Kokern}(\bigcup _{x\in X_{(p+1)}}{K}_1^M(K(X))\to \bigcup _{x\in X_{(p)}}{K}_0^M(K(X))),$

wobei $X_{(p)}$ die Menge aller Punkte von $X$ der Dimension $p$ ist.

Literatur

• Wei-Liang Chow: On Equivalence Classes of Cycles in an Algebraic Variety, Annals of Mathematics, Band 64, 1956, S. 450–479, Vorlage:ISSN
• William Fulton: Intersection theory, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. A Series of Modern Surveys in Mathematics 2, Berlin, New York: Springer-Verlag 1998, ISBN 978-0-387-98549-7, MR 1644323