Flacher Morphismus

In der algebraischen Geometrie, insbesondere der Theorie der Schemata, ist ein flacher Morphismus ein Morphismus $f:X\to Y$ von Schemata, sodass für jeden Punkt $x\in X$ der induzierte Homomorphismus von lokalen Ringen ${𝒪}_{Y,f(x)}\to {𝒪}_{X,x}$ flach ist.

Flache Morphismen werden häufig verwendet, um geometrische Objekte in Familien zu setzen. Beispiele hierfür sind Hilbert-Schemata, reduktive Gruppenschemata und abelsche Schemata.

Formale Definition

Ein Morphismus von Schemata $f:(X,{𝒪}_X)\to (Y,{𝒪}_Y)$ heißt flach, falls für jeden Punkt $x\in X$ der induzierte Homomorphismus von lokalen Ringen ${𝒪}_{Y,f(x)}\to {𝒪}_{X,x}$ flach ist. Das heißt, dass ${𝒪}_{X,x}$ ein flacher ${𝒪}_{Y,f(x)}$-Modul ist.

Für einen Morphismus von Schemata $f:(X,{𝒪}_X)\to (Y,{𝒪}_Y)$ sind die folgenden Bedingungen äquivalent:

• $f$ ist flach im Sinne der in diesem Abschnitt gegebenen Definition.
• Für jede affine offene Teilmenge $U\subseteq X$ und jede affine offene Teilmenge $V\subseteq Y$ mit $f(U)\subseteq V$ ist der ${𝒪}_Y(V)$-Modul ${𝒪}_X(U)$ flach.
• Es gibt eine offene Überdeckung $Y=\bigcup _{j\in J}{V}_j$ und offene Überdeckungen $V_j=\bigcup _{i\in I_j}{U}_i$, sodass jede Einschränkung $f{|}_{U_i}:U_i\to V_j$ für $j\in J,i\in I_j$ flach im Sinne obiger Definition ist.
• Es gibt eine affine offene Überdeckung $Y=\bigcup _{j\in J}{V}_j$ und affine offene Überdeckungen $V_j=\bigcup _{i\in I_j}{U}_i$, sodass jeder Ringhomomorphismus ${𝒪}_Y(V_j)\to {𝒪}_X(U_i)$ für $j\in J,i\in I_j$ flach ist.

Eigenschaften

• Die Komposition zweier flacher Morphismen von Schemata ist flach.
• Ist $f:X\to Y$ ein flacher Morphismus von Schemata und $g:Z\to Y$ ein beliebiger Morphismus, so ist der Basiswechsel $X{\times }_{Y}Z\to Z$ flach.

Beispiele

• Ist $B\to A$ ein flacher Ringhomomorphismus, so ist der induzierte Homomorphismus affiner Schemata $X:=\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}(A)\to Y:=\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}(B)$ flach.
• Der Strukturmorphismus des affinen Raums ${𝔸}^n\to \mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}(\mathbb{Z})$ und des projektiven Raums ${\mathbb{P}}^n\to \mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}(\mathbb{Z})$ ist flach.
• $\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})\to \mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}(\mathbb{Z})$ für $n\ge 2$ ist nicht flach, da $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ kein torsionsfreier $\mathbb{Z}$-Modul ist.