Chordale Metrik

Die chordale Metrik ist eine Metrik auf der riemannschen Zahlenkugel, die mithilfe der stereografischen Projektion definiert wird.

Definition

Mit ${𝕊}^2\subset {ℝ}^3$ wird die in den euklidischen Raum ${ℝ}^3$ eingebettete Sphäre bezeichnet. Sei nun $P_N^{-1}:ℂ\cup \{\mathrm{\infty }\}\to {𝕊}^2$ die Umkehrabbildung der stereografischen Projektion durch den Nordpol $N$ mit $P_N^{-1}(\mathrm{\infty })=N$. Für zwei Punkte $z,w\in ℂ\cup \{\mathrm{\infty }\}$ auf der riemannschen Zahlenkugel ist die chordale Metrik $\chi$ definiert durch

$\chi (z,w):=\Vert P_N^{-1}(z)-P_N^{-1}(w){\Vert }_2$,

wobei $\Vert \cdot {\Vert }_2$ die euklidische Norm bezeichnet.

Für Punkte $w,z\in ℂ$ ergibt sich explizit die Darstellung

$\chi (z,w)=\Vert P_N^{-1}(z)-P_N^{-1}(w){\Vert }_2=\frac{2\cdot \Vert w-z\Vert }{\sqrt{1+\Vert w{\Vert }^2}\sqrt{1+\Vert z{\Vert }^2}}$.

Für $w=\mathrm{\infty }$ und $z\in ℂ$ kann die Darstellung

$d_c(z,\mathrm{\infty })=\Vert P_N^{-1}(z)-N{\Vert }_2=\frac{2}{\sqrt{1+\Vert z{\Vert }^2}}$

ermittelt werden und für $w=z=\mathrm{\infty }$ gilt

$\chi (\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })=\Vert N-N{\Vert }_2=0$.

Eigenschaften

Die riemannsche Zahlenkugel $ℂ\cup \{\mathrm{\infty }\}$ ist bezüglich der chordalen Metrik ein kompakter metrischer Raum. Da in $B_R(0)$ für ein beliebiges $R>0$ die chordale Metrik und die euklidische Metrik äquivalent sind, sind Eigenschaften wie Offenheit oder Abgeschlossenheit von beschränkten Teilmengen von $ℂ$ für die beiden Metriken identisch.

Alternative

In vielen Lehrbüchern wird eine andere Darstellung der chordalen Metrik bevorzugt, welche sich von der obigen durch die Weglassung des Faktors $2$ unterscheidet. Hier hat man also (bei Anwendung der komplexen Betragsfunktion):

$\chi (a,b)=\frac{|a-b|}{(1+|a{|}^2{)}^{\frac{1}{2}}\cdot (1+|b{|}^2{)}^{\frac{1}{2}}}(a,b\in ℂ)$ .

Der Unterschied besteht darin, dass man bei der Einbettung der Gaußschen Zahlenebene in die Riemannsche Zahlenkugel eine Kugel des ${ℝ}^3$ zugrunde legt, die den Durchmesser $1$ hat und mit ihrem Südpol die $x$-$y$-Ebene im Koordinatenursprung berührt. Ihr Nordpol hat dabei die Koordinaten $x=0,y=0,z=1$. Diese reellwertige Funktion $\chi$ ist also eine beschränkte Funktion mit dem Maximum $1$. Man spricht in diesem Zusammenhang eher vom chordalen Abstand (Vorlage:EnS).

Dass $\chi$ hier die Eigenschaften eine Metrik besitzt, ergibt sich aus der Tatsache, dass sie aus dem euklidischen Abstand des ${ℝ}^3$ erwächst. Dies lässt sich jedoch auch elementar nachweisen, wie der Mathematiker Shizuo Kakutani zeigte. Dabei geht es im Wesentlichen um den Nachweis der Gültigkeit der Dreiecksungleichung. Kakutani zeigte dies unter Anwendung elementarer Ungleichungen.

Verallgemeinerung

Da es auch eine stereografische Projektion $P_N:S^n\to \widehat{{ℝ}^n}$ von der $n$-Sphäre in die Einpunktkompaktifizierung $\widehat{{ℝ}^n}$ von ${ℝ}^n$ gibt, kann die obige Definition verallgemeinert werden und man erhält dadurch, dass $\widehat{{ℝ}^n}$ bezüglich dieser Metrik auch ein kompakter metrischer Raum ist.

Literatur

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