Carleman-Ungleichung

Die Carleman-Ungleichung, benannt nach dem schwedischen Mathematiker Torsten Carleman, ist eine elementare Ungleichung der Analysis. Sie besagt, dass eine Reihe geometrischer Mittel einer Folge $(a_k{)}_k$ durch ein konstantes Vielfaches der Reihe $\sum a_k$ von oben beschränkt ist. Genauer besagt sie, dass die eulersche Zahl $e$ die kleinste Konstante ist, die als Vielfaches diese Schranke erfüllt.

Die Carleman-Ungleichung wurde erstmals 1923 von Torsten Carleman publiziert.

Satz

Aussage

Sei $(a_k{)}_k=(a_1,a_2,a_3,\dots )$ eine Folge reeller, nicht-negativer Zahlen. Bezeichne $e$ die eulersche Zahl $e\approx 2,71828\dots$. Dann gilt:

$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\sqrt[k]{(a_1{a}_2\dots a_k)}\le e\cdot \sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_k$.

Dabei ist $e$ die kleinste Zahl, die diese Aussage erfüllt.

Beweis

Wegen $\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$ ist $\sum _{n=k}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{k}$ (Teleskopsumme)

und aus $\frac{1}{e^n}<\prod _{k=1}^n{\left(\frac{k}{k+1}\right)}^k=\prod _{k=1}^n\frac{(k+1)k^k}{(k+1{)}^{k+1}}=\frac{(n+1)!}{(n+1{)}^{n+1}}=\frac{n!}{(n+1{)}^n}$ folgt $\frac{1}{e}<\frac{\sqrt[n]{n!}}{n+1}$

$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_k=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\sum _{n=k}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n(n+1)}k{a}_k=\sum _{1\le k\le n}\frac{1}{n(n+1)}k{a}_k=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n+1}\frac{1}{n}\sum _{k=1}^{n}k{a}_k$ und das ist nach der AM-GM-Ungleichung

$\ge \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n+1}\sqrt[n]{\prod _{k=1}^n(k{a}_k)}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\sqrt[n]{n!}}{n+1}\sqrt[n]{\prod _{k=1}^n{a}_k}\ge \frac{1}{e}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\sqrt[n]{a_1\cdots a_n}◻$

Varianten

Für eine Funktion $f$ mit $f\equiv ̸0$ gilt folgende kontinuierliche Variante der Carleman-Ungleichung:

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\exp (\frac{1}{x}\underset{0}{\overset{x}{\int }}\ln f(t)dt)dx<e\cdot \underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx$.

Literatur

• G. H. Hardy, J. E. Littlewood, G. Pólya: Inequalities. 2nd edition. Cambridge University Press, Cambridge u. a. 1952 (2. edition, 1. paperback edition, reprinted. transferred to digital print. ebenda 2001, ISBN 0-521-35880-9).