CR-Mannigfaltigkeit

In der Mathematik ist der Begriff der CR-Mannigfaltigkeit eine Formalisierung der Struktur reeller Hyperflächen im ${ℂ}^n$. Die Abkürzung CR bezieht sich auf Augustin-Louis Cauchy und Bernhard Riemann.

Definition

Eine differenzierbare Mannigfaltigkeit $M$ ist eine CR-Mannigfaltigkeit, wenn es ein integrables Unterbündel $H$ des komplexifizierten Tangentialbündels $TM\otimes ℂ$ gibt, für dessen komplex konjugiertes Unterbündel $\bar{H}$ punktweise $H\cap \bar{H}=\left\{0\right\}$ gilt. (Die Integrabilitätsbedingung bedeutet, dass für alle komplexen Vektorfelder $U,V$ in $H$ auch der Kommutator $[U,V]$ in $H$ liegt.)

Eine äquivalente Definition ist, dass es eine Distribution $D$ mit einer fast-komplexen Struktur $J$ gibt, so dass für alle reellen Vektorfelder $X,Y$ in $D$ auch $[JX,JY]-[X,Y]$ in $D$ liegt und gleich $J([JX,Y]+[X,JY])$ ist.

Beispiel

Sei $M\subset {ℂ}^n$ eine reelle Untermannigfaltigkeit, in lokalen Koordinaten lässt sie sich schreiben als Nullstellenmenge differenzierbarer Funktionen $M\cap U=\{z\in {ℂ}^n:F_1(z)=\dots =F_k(z)=0\}$ mit Differential maximalen Rangs. Sei $\partial :{\mathrm{\Omega }}^{p,q}\to {\mathrm{\Omega }}^{p+1,q}$ der Dolbeault-Operator. Wenn $\partial F_1\wedge \dots \wedge \partial F_k$ nirgendwo verschwindet, dann ist $M$ eine CR-Mannigfaltigkeit.

Eine CR-Struktur heißt realisierbar, wenn sie CR-diffeomorph zu einer reellen Untermannigfaltigkeit eines ${ℂ}^n$ ist.

Weblinks

• CR manifold