Bezierfläche

Tensorprodukt-Bezierfläche und ihr Kontrollnetz (blau)

In der Geometrie sind Bezierflächen Flächen im ${ℝ}^3$, die als räumliche Verallgemeinerungen von Bezierkurven definiert werden. Dabei geht man im Wesentlichen zwei Wege einer Verallgemeinerung. Dies führt auf:

• Tensorprodukt-Bezierflächen. Es werden Produkte von Bernstein-Polynomen verwendet.
• Dreiecks-Bezierflächen. Es werden Bernstein-Polynome für baryzentrische Koordinaten eingeführt.

Bezierflächen spielen in den Bereichen Computergraphik und ComputerAidedDesign eine wesentliche Rolle beim Modellieren von Freiformflächen.

Tensorprodukt-Bezierflächen

Definition

Es sei ${𝐛}^m(u)=\sum _{i=0}^m{𝐛}_i{B}_i^m(u)$ eine Bezierkurve im ${ℝ}^3$, deren Kontrollpunkte von einem weiteren Parameter $v$ abhängen, und zwar sollen sie selbst auf Bezierkurven liegen: ${𝐛}_i(v)=\sum _{j=0}^n{𝐛}_{ij}{B}_j^n(v)$. Damit beschreibt

• ${𝐛}^{m,n}(u,v)=\sum _{i=0}^m\sum _{j=0}^n{𝐛}_{ij}{B}_i^m(u)B_j^n(v),u,v\in [0,1]$

eine Fläche, die zu den Kontrollpunkten oder Kontrollnetz ${𝐛}_{ij}$ gehörige (m,n)-Tensorprodukt-Bezierfläche. Die Fläche enthält die Punkte ${𝐛}_{00},{𝐛}_{m0},{𝐛}_{0n},{𝐛}_{mn}$ und die Parameter-Kurven ($u$ oder $v$ sind konstant), insbesondere die Randkurven, sind Bezierkurven.

Man beachte, dass eine $(1,1)$-Tensorprodukt-Bezierfläche zwar Geraden enthält, aber i.a. nicht eben ist. Z.B. erhält man für

${𝐛}_{00}=(0,0,0{)}^T,{𝐛}_{10}=(1,0,0{)}^T,{𝐛}_{01}=(0,1,0{)}^T,{𝐛}_{11}=(1,1,1{)}^T$ die Fläche mit der Parameterdarstellung

$𝐱={𝐛}^{1,1}(u,v)={𝐛}_{00}(1-u)(1-v)+{𝐛}_{10}u(1-v)+{𝐛}_{01}(1-u)v+{𝐛}_{11}uv$

$=\cdots ={(u,v,uv)}^T$

Dies ist ein Teil des hyperbolischen Paraboloids mit der Gleichung $z=xy$.

Der Casteljau-Algorithmus

Die Grundidee des Casteljau-Algorithmus für Kurven ist die lineare Interpolation von Punktepaaren. überträgt man diese Idee auf Tensorprodukt-Bezierflächen, so muss man eine bilineare Interpolation für vier Punkte definieren. Sie ist, wie bei Kurven, am einfachsten Fall ablesbar: Eine (1,1)-Tensorprodukt-Bezierfläche auf den vier Punkten ${𝐛}_{00},{𝐛}_{10},{𝐛}_{01},{𝐛}_{11}$ hat die folgende Darstellung:

${𝐛}^{1,1}(u,v)=(1-u)(1-v){𝐛}_{00}+u(1-v){𝐛}_{10}+(1-u)v{𝐛}_{01}+uv{𝐛}_{11}$

Oder in Matrixform:

${𝐛}^{1,1}(u,v)=(1-u,u)\left(\begin{array}{cc}{𝐛}_{00}& {𝐛}_{01}\\ {𝐛}_{10}& {𝐛}_{11}\end{array}\right)(\genfrac{}{}{0ex}{}{1-v}{v})$

Man geht zunächst von einem $(n\times n)$-Kontrollnetz aus und bestimmt (wie bei Kurven) für $r=1,2,..,n$ und einem Parameterpaar $(u,v)$ Zwischenvektoren, die durch bilineare Interpolation entstehen:

${𝐛}_{i,j}^r=(1-u,u)\left(\begin{array}{cc}{𝐛}_{i,j}^{r-1}& {𝐛}_{i,j+1}^{r-1}\\ {𝐛}_{i+1,j}^{r-1}& {𝐛}_{i+1,j+1}^{r-1}\end{array}\right)(\genfrac{}{}{0ex}{}{1-v}{v}),$

wobei ${𝐛}_{i,j}^0:={𝐛}_{i,j}$ ist. Dann sei ${𝐛}_{0,0}^n$ der Punkt, der dem Parameterpaar $(u,v)$ zugeordnet wird.

Falls $m>n$ ist, ist ab $r=n$ der zweite Index konstant $j=0$ und es wird nur noch linear interpoliert (wie bei Bezierkurven).

• Der Punkt ${𝐛}_{0,0}^m$ ist dann der Flächenpunkt.

Analog verfährt man, falls $m<n$ ist.

Graderhöhung

Es ist oft von Vorteil, wenn für eine $(m,n)$-Tensorprodukt-Bezierfläche $m=n$ ist. Falls dies nicht der Fall ist, lässt sich dies mit Hilfe geeigneter Graderhöhungen erreichen.

Die Graderhöhung von $(m,n)$ auf $(m+1,n)$ der Tensorprodukt-Bezierfläche

${𝐛}^{m,n}(u,v)=\sum _{j=0}^n[\sum _{i=0}^m{𝐛}_{ij}{B}_i^m(u)]B_i^n(v)$

führt auf die $n+1$ Graderhöhungen für die Bezierkurven in der eckigen Klammer:

$\sum _{i=0}^m{𝐛}_{ij}{B}_i^m(u)=\sum _{i=0}^{m+1}{𝐛}_{ij}^{(1,0)}{B}_i^{m+1}(u),j=0,...n$

mit

${𝐛}_{ij}^{(1,0)}:=(1-\frac{i}{m+1}){𝐛}_{i,j}+\frac{i}{m+1}{𝐛}_{i-1,j},i=0,...,m+1.$

Ableitungen einer Bezier-Fläche

Die partielle Ableitung der Tensorprodukt-Bezierfläche

${𝐛}^{m,n}(u,v)=\sum _{j=0}^n\sum _{i=0}^m{𝐛}_{ij}{B}_i^m(u)B_j^n(v)$

nach $u$ ist

$\frac{\partial }{\partial u}{𝐛}^{m,n}(u,v)=\sum _{j=0}^n[\frac{\partial }{\partial u}\sum _{i=0}^m{𝐛}_{ij}{B}_i^m(u)]B_i^n(v).$

Mit dem Resultat für die Ableitung einer Bezierkurve ergibt sich:

• $\frac{\partial }{\partial u}{𝐛}^{m,n}(u,v)=m\sum _{j=0}^n[\sum _{i=0}^{m-1}{\mathrm{\Delta }}^{1,0}{𝐛}_{ij}{B}_i^{m-1}(u)]B_i^n(v),$

wobei ${\mathrm{\Delta }}^{1,0}{𝐛}_{i,j}:={𝐛}_{i+1,j}-{𝐛}_{i,j}$. Analog erhält man die partielle Ableitung nach $v$ und alle höheren Ableitungen.

Da die Vektoren ${\mathrm{\Delta }}^{1,0}{𝐛}_{0,0},{\mathrm{\Delta }}^{0,1}{𝐛}_{0,0}$ Tangentenvektoren der im Punkt ${𝐛}_{0,0}$ beginnenden Randkurven sind, ist

• ${\mathrm{\Delta }}^{1,0}{𝐛}_{0,0}\times {\mathrm{\Delta }}^{0,1}{𝐛}_{0,0}$

ein Normalenvektor der Fläche in diesem Punkt, falls beide linear unabhängig sind. D.h. die Tangentialebene in den Eckpunkten einer Tensorprodukt-Bezierfläche wird i.a. jeweils von dem Eckpunkt und seinen Nachbarpunkten im Kontrollnetz aufgespannt.

Dreiecks-Bezierflächen

Motivation und Definition

Eine formale Verallgemeinerung der Bernstein-Polynome auf Funktionen mit zwei Variablen würde von der Beziehung $1=(u+v+(1-u-v){)}^n=\cdots$ ausgehen. Damit die auftretenden Terme alle positiv sind, muss $(u,v)$ in dem Dreieck $(0,0),(1,0),(0,1)$ liegen. Zwei der drei Dreiecksseiten spielen als Intervalle auf den Koordinatenachsen eine besondere Rolle. Um diese Bevorzugung zu vermeiden, führt man homogene Koordinaten $u,v,w$ mit der Bedingung $u+v+w=1,u,v,w\ge 0$ ein. $u,v,w$ nennt man Baryzentrische Koordinaten. Die verallgemeinerten Bernsteinpolynome ergeben sich aus der Entwicklung von $(u+v+w{)}^n$ zu:

• $B_{ijk}^n(u,v,w):=\frac{n!}{i!j!k!}{u}^i{v}^j{w}^k$

mit $i+j+k=n,i,j,k\ge 0$ und $u+v+w=1,u,v,w\ge 0$.

Kontrollpunkte einer Dreiecks-Bezierfläche

Mit den Abkürzungen $𝐈:=(i,j,k),𝐮:=(u,v,w)$ und $|𝐈|:=i+j+k,|𝐮|:=u+v+w$ ist

$B_{𝐈}^n(𝐮):=\frac{n!}{i!j!k!}{u}^i{v}^j{w}^k,|𝐮|=1\text{und}\sum _{|𝐈|=n}{B}_{𝐈}^n=1.$

Ist nun

${𝐛}_{00n},{𝐛}_{10,n-1},...{𝐛}_{n00},{𝐛}_{01,n-1},{𝐛}_{11,n-2},...,{𝐛}_{n-1,10},...,{𝐛}_{0n0}$

ein dreieckiges Netz von Punkten des ${ℝ}^3$, den Kontrollpunkten, so ist

• ${𝐛}^n(𝐮):=\sum _{|𝐈|=n}{𝐛}_{𝐈}{B}_{𝐈}^n(𝐮)$

die zugehörige Dreiecks-Bezierfläche.

Die Abbildung zeigt die Anordnung der Punkte für den Fall $n=4$.

De-Casteljau-Algorithmus

Um den Casteljau-Algorithmus für Dreiecks-Bezierflächen übersichtlich formulieren zu können, führt man noch die folgenden Abkürzungen ein:

${𝐞}_1:=(1,0,0),{𝐞}_2:=(0,1,0),{𝐞}_3:=(0,0,1)$ und $𝐨:=(0,0,0)$.

Es sei nun $\{{𝐛}_{𝐈}||𝐈|=n\}$ ein dreieckiges Netz von Punkten im ${ℝ}^3$ und $𝐮$ ein Parametervektor in baryzentrischen Koordinaten. Dann sei für $r=1,...,n$ und $𝐈=n-r$

${𝐛}_{𝐈}^r:=u{𝐛}_{𝐈+{𝐞}_1}^{r-1}(𝐮)+v{𝐛}_{𝐈+{𝐞}_2}^{r-1}(𝐮)+w{𝐛}_{𝐈+{𝐞}_3}^{r-1}(𝐮)$

mit ${𝐛}_{𝐈}^0(𝐮):={𝐛}_{𝐈}.$ Dann ist

• ${𝐛}_{𝐨}^n(𝐮)$ ein Punkt der Dreiecks-Bezierfläche.

Der Nachweis, dass der Casteljau-Algorithmus wirklich einen Punkt der Dreiecks-Bezierfläche liefert, verwendet (analog zum Kurvenfall) die Rekursionsformeln für Bernsteinpolynome:

• $B_{𝐈}^n(𝐮)=u{B}_{𝐈-{𝐞}_1}^{n-1}(𝐮)+v{B}_{𝐈-{𝐞}_2}^{n-1}(𝐮)+w{B}_{𝐈-{𝐞}_3}^{n-1}(𝐮),|𝐈|=n.$

Für weitere Details sei auf die Literatur verwiesen.

Literatur

• Gerald Farin: Curves and Surfaces for CAGD. A practical guide. 5. Aufl. Academic Press, San Diego 2002, ISBN 1-55860-737-4
• J. Hoschek, D. Lasser: Grundlagen der geometrischen Datenverarbeitung, Vieweg+Teubner Verlag, 1989, ISBN 978-3-519-02962-5
• David Salomon: Curves and Surfaces for Computer Graphics. Springer Science+Business Media, Inc., 2006, ISBN 0-387-24196-5
• Boaswan Dzung Wong: Bézierkurven: gezeichnet und gerechnet. Orell Füssli Verlag, Zürich 2003, ISBN 3-280-04021-3
• Wolfgang Boehm, Gerald Farin, Jürgen Kahmann: A survey of curve and surface methods in CAGD, Comput. Aided Geom. Des. 1, S. 1–60, 1984