Astroide

Animation der Astroide

Animation Astroide als Hüllkurve

Astroide als Hüllkurve einer Familie von Ellipsen, bei denen a + b = const.

Die Astroide (auch Sternkurve genannt) ist eine ebene Kurve, die sich mit einem Parameter $t\in [0,2\pi ]$ durch die Parametergleichungen

$x=a(\cos t{)}^3$

$y=a(\sin t{)}^3$

oder durch die implizite Gleichung

$x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=a^{\frac{2}{3}}$,  welche äquivalent zu   $(x^2+y^2-a^2{)}^3+27a^2{x}^2{y}^2=0$ ist,

beschreiben lässt. $a$ ist dabei eine feste positive, reelle Zahl. Sie ist die Kurve, die ein Punkt auf einem Kreis mit Radius $\frac{1}{4}a$ beschreibt, der innen auf einem Kreis mit Radius $a$ abrollt. Sie ist also eine spezielle Hypozykloide.

Für ihren Flächeninhalt $A$ gilt

$A=\frac{3}{8}\pi a^2$.

Die Länge $\ell$ der gesamten Kurve beträgt $\ell =6a$. Innerhalb eines Kurvenviertels $0\le t\le \frac{\pi }{2}$ gilt für die Bogenlänge

$s(t)=\frac{3}{2}a{\sin }^2(t)$

und für den Krümmungsradius

$\rho (t)=\frac{3}{2}a\sin (2t)$.

Die Astroide ähnelt auch dem Karo auf gewöhnlichen Spielkarten.

Schwerpunkt

Schwerpunkte der Astroiden
	Intervall	$x_{\mathrm{S}}$	$y_{\mathrm{S}}$
Ebenes Kurvenstück	0 ≤ t ≤ $\frac{\pi }{2}$	$\frac{2}{5}a$	$\frac{2}{5}a$
	0 ≤ t ≤ $\pi$	0	$\frac{2}{5}a$
Ebene Figur	0 ≤ t ≤ $\frac{\pi }{2}$	$\frac{256}{315\pi }a$	$\frac{256}{315\pi }a$
	0 ≤ t ≤ $\pi$	0	$\frac{256}{315\pi }a$
Drehkörper*	0 ≤ t ≤ $\frac{\pi }{2}$	$\frac{21}{128}a$	0

*Bei Rotation um die X-Achse $(z_S=0)$

Schiefe Astroide

Eine Verallgemeinerung ist die schiefe Astroide, die sich durch die Parametergleichungen

$x=a(\cos t{)}^3$

$y=b(\sin t{)}^3$

oder durch die implizite Gleichung

${\left(\frac{x}{a}\right)}^{\frac{2}{3}}+{\left(\frac{y}{b}\right)}^{\frac{2}{3}}=1$

beschreiben lässt. Die Evolute einer Ellipse ist ebenfalls eine schiefe Astroide.

Siehe auch

• orthoptische Kurve einer Astroide

Weblinks

• Vorlage:MathWorld
• Astroide bei 2dcurves.com (englisch)
• Stoner-Wohlfarth Astroiden Applet (Physik). (englisch)