Approximationssatz von Lück

Der Approximationssatz von Lück ist ein Lehrsatz aus dem mathematischen Gebiet der algebraischen Topologie. Er setzt die L²-Betti-Zahlen $b_k^{(2)}(X)$ eines Raumes $X$ in Beziehung zu den üblichen Betti-Zahlen $b_k(X_i)$ seiner endlichen Überlagerungen $X_i$.

Aussage des Satzes

Sei $X$ ein endlicher CW-Komplex mit residuell endlicher Fundamentalgruppe $\mathrm{\Gamma }$. Wegen der residuellen Endlichkeit gibt es eine absteigende Kette von Normalteilern mit $[\mathrm{\Gamma }:{\mathrm{\Gamma }}_i]<\mathrm{\infty }$ und $\bigcap _i{\mathrm{\Gamma }}_i=0$. Sei $X_i$ die Überlagerung von $X$ mit Deckgruppe ${\mathrm{\Gamma }}_i$. Dann ist

$b_k^{(2)}(X)=\underset{i\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{b_k(X_i)}{[\mathrm{\Gamma }:{\mathrm{\Gamma }}_i]}.$

Sei insbesondere $\mathrm{\Gamma }$ eine endlich präsentierte, residuell endliche Gruppe und $\mathrm{\Gamma }={\mathrm{\Gamma }}_0\supset {\mathrm{\Gamma }}_1\supset {\mathrm{\Gamma }}_2\supset \dots$ eine absteigende Kette von Normalteilern mit $[\mathrm{\Gamma }:{\mathrm{\Gamma }}_i]<\mathrm{\infty }$ und $\bigcap _i{\mathrm{\Gamma }}_i=0$, dann ist

$b_k^{(2)}(\mathrm{\Gamma })=\underset{i\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{b_k({\mathrm{\Gamma }}_i)}{[\mathrm{\Gamma }:{\mathrm{\Gamma }}_i]}.$

Der Approximationssatz gilt auch für Homologie mit Koeffizienten in einem beliebigen Körper der Charakteristik Null.

Verallgemeinerung für Gitter in symmetrischen Räumen

Sei $X$ ein symmetrischer Raum von nichtkompaktem Typ und ${\mathrm{\Gamma }}_n$ eine gleichmäßig diskrete Folge von kokompakten Gittern in $X$, für die ${\mathrm{\Gamma }}_n\mathrm{\setminus }X$ gegen $X$ Benjamini-Schramm-konvergiert. Dann ist

$\underset{i\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{b_k({\mathrm{\Gamma }}_i)}{\mathrm{vol}({\mathrm{\Gamma }}_i\mathrm{\setminus }X)}={\beta }_k^{(2)}(X)$

mit

${\beta }_k^{(2)}(X)=0$ für $k=\frac{1}{2}\dim (X)$

und

${\beta }_{\frac{1}{2}\dim (X)}^{(2)}(X)=\frac{\chi (X^d)}{\mathrm{vol}(X^d)}$

für den zu $X$ dualen kompakten symmetrischen Raum.

Literatur

• Wolfgang Lück: Approximating L2-invariants by their finite-dimensional analogues. GAFA 4 (1994), S. 458–490.
• Pierre Pansu: Introduction to L2 -Betti numbers.
• Michail Gromov: Asymptotic Invariants of Infinite Groups. (Chapter 8)
• Wolfgang Lück: L2-Invariants: Theory and Applications to Geometry and K-Theory.