Homologie mit Koeffizienten

In der Mathematik ist Homologie mit Koeffizienten in einer abelschen Gruppe eine Verallgemeinerung der klassischen Homologietheorien.

Definition

Sei

$0\leftarrow K_0\leftarrow K_1\leftarrow K_2\leftarrow K_3\leftarrow \dots$

ein Kettenkomplex und $G$ eine abelsche Gruppe. Als Homologie mit Koeffizienten in $G$ bezeichnet man die Homologie des Kettenkomplexes

$0\leftarrow K_0{\otimes }_{\mathbb{Z}}G\leftarrow K_1{\otimes }_{\mathbb{Z}}G\leftarrow K_2{\otimes }_{\mathbb{Z}}G\leftarrow K_3{\otimes }_{\mathbb{Z}}G\dots$.

Für $G=\mathbb{Z}$ erhält man die Homologie des Kettenkomplexes.

Für einen topologischen Raum $X$ bezeichnet man mit $H_{*}(X,G)$ die Homologie des singulären Kettenkomplexes mit Koeffizienten in $G$. Für $G=\mathbb{Z}$ erhält man die singuläre Homologie.

Für einen Simplizialkomplex $S$ bezeichnet man mit $H_{*}(S,G)$ die Homologie des simplizialen Kettenkomplexes mit Koeffizienten in $G$. Für $G=\mathbb{Z}$ erhält man die simpliziale Homologie.

Beispiel

Sei $X=ℝP^n$ der projektive Raum und $G=F$ ein Körper.

Wenn die Charakteristik von $F$ gleich $2$ ist, dann ist $H_k(ℝP^n,F)=F$ für alle $k$ mit $0\le k\le n$.

Wenn $char(F)=2$, dann ist $H_0(ℝP^n,F)=F$ und für ungerade $n$ auch $H_n(ℝP^n,F)=F$, aber $H_k(ℝP^n,F)=0$ für alle anderen Werte von $k$.

Berechnung

Die Homologie mit Koeffizienten kann aus der klassischen Homologie mit Hilfe des universellen Koeffizientensatzes

$0\to H_n(X)\otimes G\to H_n(X;G)\to {\mathrm{Tor}}_1^{\mathbb{Z}}(H_{n-1}(X),G)\to 0$

berechnet werden.

Literatur

• Allen Hatcher: Algebraic Topology. Cambridge University Press, Cambridge, 2002, ISBN 0-521-79540-0.