Anosov-Fluss

In der Mathematik sind Anosov-Flüsse, benannt nach Dmitri Wiktorowitsch Anossow, ein gut verstandenes Beispiel chaotischer Dynamik. Sie zeigen einerseits alle typischen Effekte chaotischen Verhaltens, sind andererseits aber einer mathematischen Behandlung gut zugänglich.

Definition

Ein Fluss ${\varphi }^t$ auf einer Riemannschen Mannigfaltigkeit $M$ heißt Anosov-Fluss, wenn es eine stetige, ${\varphi }^t$-invariante Zerlegung

$TM=E^c\oplus E^s\oplus E^u$

des Tangentialbündels $TM$ gibt, so dass $E^c$ tangential zur Flussrichtung ist und $E^s$ bzw. $E^u$ durch $D{\varphi }^t$ gleichmäßig kontrahiert bzw. expandiert werden, d. h., es gibt $C\ge 1,\lambda >0$ mit

$\parallel D{\varphi }^t(v^s)\parallel \le C{e}^{-\lambda t}\parallel v^s\parallel \mathrm{\forall }{v}^s\in E^s,t>0$

$\parallel D{\varphi }^t(v^u)\parallel \ge \frac{1}{C}{e}^{\lambda t}\parallel v^u\parallel \mathrm{\forall }{v}^u\in E^u,t>0$.

Die Unterbündel $E^s$ und $E^u$ heißen stabiles und instabiles Bündel, die direkten Summen $E^{ss}:=E^c\oplus E^s$ und $E^{uu}:=E^c\oplus E^u$ heißen schwach stabiles bzw. schwach instabiles Bündel.

Differenzierbarkeit der Distributionen

Im Allgemeinen sind die Distributionen $E^s$ und $E^u$ nur stetig und nicht notwendig differenzierbar. Benoist-Foulon-Labourie haben bewiesen, dass das stabile und instabile Bündel eines Anosov-Flusses auf einer kompakten Mannigfaltigkeit negativer Schnittkrümmung nur dann $C^{\mathrm{\infty }}$-Bündel sind, wenn es sich (bis auf $C^{\mathrm{\infty }}$-Reparametrisierung) um den geodätischen Fluss eines lokal symmetrischen Raumes handelt.

Integralmannigfaltigkeiten

Die Unterbündel $E^c\oplus E^s$ und $E^c\oplus E^u$ sind integrierbar, ihre Integralmannigfaltigkeiten heißen schwach stabile bzw. schwach instabile Mannigfaltigkeit. Die schwach stabilen bzw. schwach instabilen Mannigfaltigkeiten eines Anosov-Flusses bilden jeweils eine straffe Blätterung.

Analog werden die Integralmannigfaltigkeiten von $E^s$ bzw. $E^u$ als stabile bzw. instabile Mannigfaltigkeit bezeichnet.

Beispiele

• Der geodätische Fluss (auf dem Einheitstangentialbündel) einer Riemannschen Mannigfaltigkeit negativer Schnittkrümmung ist ein Anosov-Fluss, seine stabilen und instabilen Mannigfaltigkeit sind Einheitstangentialbündel von Horosphären.
• Der Suspensionsfluss eines Anosov-Diffeomorphismus, zum Beispiel eines hyperbolischen Automorphismus des Torus, ist ein Anosov-Fluss.

Eigenschaften

• Periodische Orbiten liegen dicht.
• Ein maß-erhaltender Anosov-Fluss ist ergodisch.

Literatur

Stephen Smale: Differentiable dynamical systems. Bull. Amer. Math. Soc. 73 1967 747–817 pdf