Airy-Funktion

Vorlage:Dieser Artikel Die Airy-Funktion $\mathrm{Ai}(x)$ bezeichnet eine spezielle Funktion in der Mathematik. Die Funktion $\mathrm{Ai}(x)$ und die verwandte Funktion $\mathrm{Bi}(x)$, die ebenfalls Airy-Funktion genannt wird, sind Lösungen der linearen Differentialgleichung

$y^{″}-xy=0,$

auch bekannt als Airy-Gleichung. Sie beschreibt unter anderem die Lösung der Schrödinger-Gleichung für einen linearen Potentialtopf.

Die Airy-Funktion ist nach dem britischen Astronomen George Biddell Airy benannt, der diese Funktion in seinen Arbeiten in der Optik verwendete (Airy 1838). Die Bezeichnung $\mathrm{Ai}(x)$ wurde von Harold Jeffreys eingeführt.

Definition

Reelle Airy-Funktion

Für reelle Werte $x$ ist die Airy-Funktion als Parameterintegral definiert:

$\mathrm{A}\mathrm{i}(x)=\frac{1}{\pi }\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\cos (\frac{t^3}{3}+xt)\mathrm{d}t.$

Eine zweite, linear unabhängige Lösung der Differentialgleichung ist die Airy-Funktion zweiter Art $\mathrm{B}\mathrm{i}$:

$\mathrm{B}\mathrm{i}(x)=\frac{1}{\pi }\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}(\exp (-\frac{t^3}{3}+xt)+\sin (\frac{t^3}{3}+xt))\mathrm{d}t.$

Komplexe Airy-Funktion

Die komplexe Airy-Funktion ist

$\mathrm{Ai}(z)=\frac{1}{2\pi i}\underset{C}{\int }\exp (\frac{t^3}{3}-zt)dt,$

mit Kontour $C$ von $z_1=\mathrm{\infty }$ mit $\arg (z_1)=-\pi /3$ nach $z_2=\mathrm{\infty }$ mit $\arg (z_2)=\pi /3$.

Eigenschaften

Asymptotisches Verhalten

Für $x$ gegen $+\mathrm{\infty }$ lassen sich $\mathrm{A}\mathrm{i}(x)$ und $\mathrm{B}\mathrm{i}(x)$ mit Hilfe der WKB-Näherung approximieren:

$\begin{array}{cc}\mathrm{A}\mathrm{i}(x)& \simeq \frac{e^{-\frac{2}{3}{x}^{3/2}}}{2\sqrt{\pi }{x}^{1/4}}\\ \mathrm{B}\mathrm{i}(x)& \simeq \frac{e^{\frac{2}{3}{x}^{3/2}}}{\sqrt{\pi }{x}^{1/4}}.\end{array}$

Für $x$ gegen $-\mathrm{\infty }$ gelten die Beziehungen:

$\begin{array}{cc}\mathrm{A}\mathrm{i}(x)& \simeq \frac{\sin (\frac{2}{3}(-x{)}^{3/2}+\frac{1}{4}\pi )}{\sqrt{\pi }(-x{)}^{1/4}}\\ \mathrm{B}\mathrm{i}(x)& \simeq \frac{\cos (\frac{2}{3}(-x{)}^{3/2}+\frac{1}{4}\pi )}{\sqrt{\pi }(-x{)}^{1/4}}.\end{array}$

Nullstellen

Die Airy-Funktionen haben nur Nullstellen auf der negativen reellen Achse. Die ungefähre Lage folgt aus dem asymptotischen Verhalten für $x\to -\mathrm{\infty }$ zu

$\mathrm{Ai}(x)=0\Rightarrow x\approx -(\frac{3}{2}\pi (n-\frac{1}{4}){)}^{2/3},n\in \mathbb{N}$

$\mathrm{Bi}(x)=0\Rightarrow x\approx -(\frac{3}{2}\pi (n-\frac{3}{4}){)}^{2/3},n\in \mathbb{N}$

Spezielle Werte

Die Airy-Funktionen und ihre Ableitungen haben für $x=0$ die folgenden Werte:

$\begin{array}{cccc}\mathrm{A}\mathrm{i}(0)& =\frac{1}{\sqrt[3]{9}\cdot \mathrm{\Gamma }(\frac{2}{3})},& {\mathrm{A}\mathrm{i}}^{\prime }(0)& =-\frac{1}{\sqrt[3]{3}\cdot \mathrm{\Gamma }(\frac{1}{3})},\\ \mathrm{B}\mathrm{i}(0)& =\frac{1}{\sqrt[6]{3}\cdot \mathrm{\Gamma }(\frac{2}{3})},& {\mathrm{B}\mathrm{i}}^{\prime }(0)& =\frac{\sqrt[6]{3}}{\mathrm{\Gamma }(\frac{1}{3})}.\end{array}$

Hierbei bezeichnet $\mathrm{\Gamma }(\cdot )$ die Gammafunktion. Es folgt, dass die Wronski-Determinante von $\mathrm{A}\mathrm{i}(x)$ und $\mathrm{B}\mathrm{i}(x)$ gleich $\frac{1}{\pi }$ ist.

Fourier-Transformierte

Direkt aus der Definition der Airy-Funktion $\mathrm{Ai}(x)$ (siehe oben) folgt deren Fourier-Transformierte.

$ℱ(\mathrm{Ai})(k):=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\mathrm{Ai}(x){\mathrm{e}}^{-2\pi \mathrm{i}kx}dx={\mathrm{e}}^{\frac{\mathrm{i}}{3}(2\pi k{)}^3}.$

Man beachte die hier verwendete symmetrische Variante der Fourier-Transformation.

Weitere Darstellungen

• Unter Verwendung der hypergeometrischen Funktion ${}_0{F}_1$

$\mathrm{A}\mathrm{i}(z)=\frac{1}{3^{2/3}\cdot \mathrm{\Gamma }(\frac{2}{3})}\cdot {}_0{F}_1(0;\frac{2}{3};\frac{1}{9}{z}^3)-\frac{z}{3^{1/3}\cdot \mathrm{\Gamma }(\frac{1}{3})}\cdot {}_0{F}_1(0;\frac{4}{3};\frac{1}{9}{z}^3)$

$\mathrm{B}\mathrm{i}(z)=\frac{1}{3^{1/6}\cdot \mathrm{\Gamma }(\frac{2}{3})}\cdot {}_0{F}_1(0;\frac{2}{3};\frac{1}{9}{z}^3)+\frac{3^{1/6}\cdot z}{\mathrm{\Gamma }(\frac{1}{3})}\cdot {}_0{F}_1(0;\frac{4}{3};\frac{1}{9}{z}^3)$

• Für $x>0$ lassen sie sich auch mit der modifizierten Bessel-Funktion erster Art $I$ so darstellen:

$\mathrm{A}\mathrm{i}(x)=\frac{1}{3}\sqrt{x}[I_{-1/3}\left(\frac{2}{3}{x}^{3/2}\right)-I_{1/3}\left(\frac{2}{3}{x}^{3/2}\right)]$

$\mathrm{B}\mathrm{i}(x)=\sqrt{\frac{x}{3}}[I_{-1/3}\left(\frac{2}{3}{x}^{3/2}\right)+I_{1/3}\left(\frac{2}{3}{x}^{3/2}\right)]$

• Eine andere unendliche Integraldarstellung für $\mathrm{A}\mathrm{i}$ lautet

$\mathrm{A}\mathrm{i}(z)=\frac{1}{2\pi }\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\exp (\mathrm{i}\cdot (zt+\frac{t^3}{3}))\mathrm{d}t$

• Es gibt die Reihendarstellungen

$\mathrm{A}\mathrm{i}(z)=\frac{1}{3^{2/3}\pi }\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{\mathrm{\Gamma }(\frac{1}{3}(n+1))}{n!}{\left(3^{1/3}z\right)}^n\sin \left(\frac{2(n+1)\pi }{3}\right)$

$\mathrm{B}\mathrm{i}(z)=\frac{1}{3^{1/6}\pi }\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{\mathrm{\Gamma }(\frac{1}{3}(n+1))}{n!}{\left(3^{1/3}z\right)}^n|\sin \left(\frac{2(n+1)\pi }{3}\right)|$

Komplexe Argumente

$\mathrm{A}\mathrm{i}(x)$ und $\mathrm{B}\mathrm{i}(x)$ sind ganze Funktionen. Sie lassen sich also auf der gesamten komplexen Ebene analytisch fortsetzen.

$\mathrm{\Re }[\mathrm{A}\mathrm{i}(x+iy)]$	$\mathrm{\Im }[\mathrm{A}\mathrm{i}(x+iy)]$	$|\mathrm{A}\mathrm{i}(x+iy)|$	$\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}[\mathrm{A}\mathrm{i}(x+iy)]$

$\mathrm{\Re }[\mathrm{B}\mathrm{i}(x+iy)]$	$\mathrm{\Im }[\mathrm{B}\mathrm{i}(x+iy)]$	$|\mathrm{B}\mathrm{i}(x+iy)|$	$\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}[\mathrm{B}\mathrm{i}(x+iy)]$

Verallgemeinerungen

Definiere

$T_n(t,\alpha )=t^n{}_2{F}_1(-\frac{n}{2},\frac{1-n}{2};1-n;-\frac{4\alpha }{t^2})$

wobei ${}_2{F}_1$ die hypergeometrische Funktion ist. Dann gibt es folgende Verallgemeinerungen des Airy-Integrals

${\mathrm{Ci}}_n(\alpha )=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\cos (T_n(t,\alpha ))\mathrm{d}t$

${\mathrm{Si}}_n(\alpha )=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\sin (T_n(t,\alpha ))\mathrm{d}t$

${\mathrm{Ei}}_n(\alpha )=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\exp (-T_n(t,\alpha ))\mathrm{d}t$

Verwandte Funktionen

Airy-Zeta-Funktion

Zu der Airy-Funktion lässt sich analog zu den anderen Zeta-Funktionen die Airysche Zeta-Funktion definieren als

$Z(n)=\sum _r\frac{1}{r^n},$

wobei die Summe über die reellen (negativen) Nullstellen von $\mathrm{A}\mathrm{i}$ geht.

Scorersche Funktionen

Funktionsgraphen von $\mathrm{G}\mathrm{i}(x)$ und $\mathrm{H}\mathrm{i}(x)$.

Manchmal werden auch die beiden weiteren Funktionen $\mathrm{G}\mathrm{i}(x)$ und $\mathrm{H}\mathrm{i}(x)$ zu den Airy-Funktionen dazugerechnet. Die Integral-Definitionen lauten

$\mathrm{G}\mathrm{i}(x)=\frac{1}{\pi }\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\sin (\frac{t^3}{3}+xt)\mathrm{d}t$

$\mathrm{H}\mathrm{i}(x)=\frac{1}{\pi }\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\exp (-\frac{t^3}{3}+xt)\mathrm{d}t$

Sie lassen sich auch durch die Funktionen $\mathrm{A}\mathrm{i}$ und $\mathrm{B}\mathrm{i}$ darstellen.

Literatur

• Milton Abramowitz, Irene A. Stegun: Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. (siehe §10.4). National Bureau of Standards, 1954.
• George Biddell Airy: On the intensity of light in the neighbourhood of a caustic. In: Transactions of the Cambridge Philosophical Society. Band 6, 1838, S. 379–402.
• Frank Olver: Asymptotics and Special Functions. Chapter 11. Academic Press, New York 1974.

Weblinks

• Vorlage:MathWorld
• Bessel-Type Functions. Wolfram Funktionenseite.
• Chapter 9: Airy and related functions. In: Digital Library of Mathematical Functions.