Abelsche Lie-Gruppe

Abelsche Lie-Gruppen sind ein Begriff aus der mathematischen Theorie der Lie-Gruppen und Lie-Algebren.

Definition

Eine Lie-Gruppe heißt abelsch, wenn ihre Gruppenmultiplikation kommutativ ist.

Für zusammenhängende Lie-Gruppen ist dies äquivalent dazu, dass die Lie-Algebra der Lie-Gruppe eine abelsche Lie-Algebra, also die Lie-Klammer identisch null ist.

Eigenschaften

Für eine abelsche Lie-Gruppe $G$ und ihre Lie-Algebra $𝔤$ ist die Exponentialabbildung $\exp :𝔤\to G$ ein Homomorphismus, es gilt also

$\exp (X+Y)=\exp (X)\exp (Y)$

für alle $X,Y\in 𝔤$. Dies folgt aus der Tatsache, dass die Multiplikationsabbildung $m:G\times G\to G$ das Differential $(X,Y)\to X+Y$ hat und für abelsche Gruppen (und nur diese) $m$ ein Homomorphismus ist, sowie aus $\exp (Dm(X,Y))=m(\exp (X),\exp (Y))$.

Weiterhin ist für abelsche Gruppen die Exponentialabbildung surjektiv und hat einen diskreten Kern.

Beispiele

Die Kreisgruppe $S^1$ ist eine abelsche Lie-Gruppe. Sie ist isomorph zur speziellen orthogonalen Gruppe $SO(2)$ und zur unitären Gruppe $U(1)$.

Ebenso ist der Torus ${𝕋}^2=S^1\times S^1$ eine abelsche Lie-Gruppe.

Klassifikation

Jede kompakte, zusammenhängende, abelsche Lie-Gruppe ist ein $n$-Torus ${𝕋}^n=\underset{n\text{mal}}{\underbrace{{𝕊}^1\times \cdots \times {𝕊}^1}}$ für ein $n\in \mathbb{N}$.

Jede zusammenhängende, abelsche Lie-Gruppe ist isomorph zu ${ℝ}^k\times {𝕋}^n$ für natürliche Zahlen $k,n$.

Jede abelsche Lie-Gruppe ist isomorph zu $F\times {ℝ}^k\times {𝕋}^n$ für eine endliche abelsche Gruppe $F$ und $k,n\in \mathbb{N}$.