’t Hooft-Symbol

Das ’t Hooft-Symbol ist in der mathematischen Formulierung der Physik eine Kombination des Kronecker-Deltas und des Levi-Civita-Symbols. Mit diesem können die Generatoren der zweiten speziellen unitären Lie-Algebra $𝔰𝔲(2)$ durch die Generatoren der Lorentz-Algebra $𝔰𝔬(1,3)$ ausgedrückt werden, was etwa bei der Beschreibung der BPST-Instantone verwendet wird. Benannt ist das ’t Hooft-Symbol nach dem niederländischen Physiker Gerard ’t Hooft, welcher dieses im Jahr 1976 einführte.

Definition

Griechische Indizes $\mu ,\nu =1,2,3,4$ stehen dabei für die Koordinaten der vierdimensionalen Raumzeit und der lateinische Index $a=1,2,3$ steht für die Pauli-Matrizen, welche eine Basis der dreidimensionalen Lie-Algebra $𝔰𝔲(2)$ bilden. Das (selbstduale) ’t Hooft-Symbol und das anti (selbstduale) ’t Hooft-Symbol sind definiert durch:

${\eta }_{\mu \nu }^a={ϵ}_{a\mu \nu 4}+{\delta }_{a\mu }{\delta }_{\nu 4}-{\delta }_{a\nu }{\delta }_{\mu 4}=\{\begin{array}{cc}{ϵ}^{a\mu \nu }& \mu ,\nu =1,2,3\\ -{\delta }^{a\nu }& \mu =4\\ {\delta }^{a\mu }& \nu =4\\ 0& \mu =\nu =4\end{array};$

${\bar{\eta }}_{\mu \nu }^a={ϵ}_{a\mu \nu 4}-{\delta }_{a\mu }{\delta }_{\nu 4}+{\delta }_{a\nu }{\delta }_{\mu 4}=\{\begin{array}{cc}{ϵ}^{a\mu \nu }& \mu ,\nu =1,2,3\\ {\delta }^{a\nu }& \mu =4\\ -{\delta }^{a\mu }& \nu =4\\ 0& \mu =\nu =4\end{array}.$

Eigenschaften

Die Benennung der ’t Hooft-Symbol als selbstdual und antiselbstdual stammt von den Eigenschaften:

${\eta }_{a\mu \nu }=\frac{1}{2}{ϵ}_{\mu \nu \rho \sigma }{\eta }_{a\rho \sigma };$

${\overline{\eta }}_{a\mu \nu }=-\frac{1}{2}{ϵ}_{\mu \nu \rho \sigma }{\bar{\eta }}_{a\rho \sigma }.$

Literatur

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