Überdeckungssatz von Vitali

Der Überdeckungssatz von Vitali ist ein Satz der Maßtheorie, eines Teilgebiets der Mathematik, das sich mit der Verallgemeinerung von Längen-, Flächen- und Volumenbegriffen beschäftigt. Der Satz ist ein Hilfsmittel für den Beweis, dass für das Lebesgue-Stieltjes-Maß die Radon-Nikodým-Ableitung (bezüglich des Borel-Maßes) und die gewöhnliche Ableitung übereinstimmen. Der Satz ist nach Giuseppe Vitali benannt, der ihn 1908 bewies.

Rahmenbedingungen

Es bezeichnen $\lambda$ das Lebesgue-Maß und $\eta$ das äußere Lebesgue-Maß, also das äußere Maß, das von dem Lebesgueschen Prämaß erzeugt wird. Eine Mengenfamilie $𝒱$ von offenen, abgeschlossenen oder halboffenen Intervallen $I$ mit $\lambda (I)>0$ heißt eine Vitali-Überdeckung einer (nicht notwendigerweise messbaren) Menge $A\subset ℝ$, wenn für alle $x\in A$ und alle $\epsilon >0$ ein $I\in 𝒱$ existiert, so dass $x\in I$ und $\lambda (I)<\epsilon$.

Aussage

Ist für eine beliebige Menge $A\subset ℝ$ mit $\eta (A)<\mathrm{\infty }$ eine Vitali-Überdeckung $𝒱$ gegeben, so gibt es für jedes $\epsilon >0$ eine endliche Anzahl von disjunkten Intervallen $I_1,I_2,\dots ,I_n$ in $𝒱$, so dass

$\eta (A\setminus \bigcup _{i=1}^n{I}_n)<\epsilon$

gilt.

Siehe auch

• Überdeckungssatz von Besicovitch
• Überdeckungslemma von Wiener

Weblinks

• Vorlage:EoM

Literatur

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