Lebesgue-Stieltjes-Maß

Das Lebesgue-Stieltjes-Maß ist ein Begriff aus der Maßtheorie, einem Teilbereich der Mathematik. Es enthält als einen Spezialfall das Lebesgue-Maß und wird zur Konstruktion des Lebesgue-Stieltjes-Integrals genutzt.

Definition

Gegeben sei eine monoton wachsende, rechtsstetige Funktion $F:ℝ\to ℝ$ und der Messraum $(ℝ,ℬ(ℝ))$, wobei $ℬ$ die Borelsche σ-Algebra bezeichnet. Dann heißt das eindeutig bestimmte Maß ${\lambda }_F$ auf diesem Messraum mit

${\lambda }_F((a,b]):=F(b)-F(a)\text{für}a<b$

Lebesgue-Stieltjes-Maß.

Beispiele

• Das bekannteste Beispiel eines Lebesgue-Stieltjes-Maßes ist das Lebesgue-Maß $\lambda ((a,b])=b-a$, aus dem das Lebesgue-Integral konstruiert wird. Hier ist $F(x)=x$.
• Für $a\in ℝ$ und $F:ℝ\to ℝ$ mit $F(x)=0$ für $x<a$ und $F(x)=1$ für $x\ge a$ ist das Lebesgue-Stieltjes-Maß ${\lambda }_F$ das Diracmaß ${\delta }_a$.
• Ist $f:ℝ\to [0,\mathrm{\infty })$ eine nichtnegative, stetige Funktion mit Stammfunktion $F$, so ist ${\lambda }_F$ das Maß mit Dichte $f$.
• Ist zusätzlich $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }F(x)=0$ und $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }F(x)=1$, so ist ${\lambda }_F$ ein Wahrscheinlichkeitsmaß und $F$ ist die Verteilungsfunktion.
• Sind die beiden obigen Fälle erfüllt, so handelt es sich um ein Wahrscheinlichkeitsmaß mit Dichte. Diese Maße spielen eine wichtige Rolle in der Stochastik.

Konstruktion

Gegeben sei der Halbring $𝒥:=\{(a,b]:a,b\in ℝ,a<b\}$ und eine wachsende, rechtsseitig stetige Funktion $F$. Dann ist

${\mu }_F:𝒥\to ℝ,{\mu }_F((a,b]):=F(b)-F(a),(a<b)$

ein σ-endliches Prämaß, das sogenannte Lebesgue-Stieltjessches Prämaß. Dann lässt sich mit dem Maßerweiterungssatz von Carathéodory eine eindeutige Fortsetzung dieses Prämaßes zu einem Maß konstruieren. Dazu wird ein äußeres Maß ${\nu }_F$, das sogenannte äußere Lebesgue-Stieltjessche Maß definiert, und dieses auf die von $𝒥$ erzeugte σ-Algebra eingeschränkt. Diese σ-Algebra ist dann genau die Borelsche σ-Algebra $ℬ(ℝ)=\sigma (𝒥)$ und es ist ${\lambda }_F={\nu }_F|\sigma (𝒥)$.

Vervollständigung

Der oben konstruierte Maßraum ist im Allgemeinen kein vollständiger Maßraum. Da das äußere Lebesgue-Stieltjessche Maß aber auch ein metrisches äußeres Maß ist, enthält die σ-Algebra der messbaren Mengen bezüglich des äußeren Maßes ${𝒜}_{{\nu }_F}$ die Borelsche σ-Algebra. Demnach ist der Maßraum $(ℝ,{𝒜}_{{\nu }_F},{\nu }_F{|}_{{𝒜}_{{\nu }_F}})$ die Vervollständigung von $(ℝ,ℬ(ℝ),{\lambda }_F)$.

Literatur

• Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 6. Auflage. Springer, Berlin/Heidelberg/New York 2009, ISBN 978-3-540-89727-9.
• Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 2. Auflage. Springer, Berlin/Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-76317-8.