Überdeckungssatz von Besicovitch

In der Analysis ist die Besicovitch-Überdeckung, benannt nach Abram Samoilowitsch Besikowitsch, eine offene Überdeckung einer Teilmenge $A$ auf dem euklidischen Raum ${ℝ}^N$ mit Kugeln, sodass jeder Punkt von $A$ das Zentrum einer Kugel in der Überdeckung ist.

Definition

Sei A $\subset {ℝ}^N$, $0<R<\mathrm{\infty }$ und $L$ ein System von abgeschlossenen Kugeln in ${ℝ}^N$, sodass es zu jedem $x\in A$ eine Kugel $B\in L$ mit Zentrum in $x$ und Radius kleiner gleich $R$ gibt.

Dann existieren Systeme $L_1,\dots ,L_{b(N)}$ von Kugeln, derart dass jedes System $L_N$ aus höchstens abzählbar vielen paarweise disjunkte Kugeln aus $L$ besteht und deren Vereinigung $L_1\cup \dots \cup L_{b(N)}$ ganz $A$ überdeckt, das heißt:

$A\subset \bigcup _{j=1}^{b(N)}\bigcup _{B\in L_j}B$.

Anwendung für die Maximalfunktion und maximale Ungleichung

Sei $\mu$ ein nicht-negatives Borelmaß für ${ℝ}^N$, endlich für kompakte Teilmengen und sei $f$ eine $\mu$-integrierbare Funktion, dann definiert man die Hardy-Littlewood-Maximalfunktion $f^{*}$ für jedes $x$ (mit der Konvention $\mathrm{\infty }\times 0=0$) durch

$f^{*}(x)=\underset{r>0}{\sup }(\mu (B(x,r){)}^{-1}\underset{B(x,r)}{\int }|f(y)|d\mu (y))$.

Diese Maximalfunktion ist halbstetig, also messbar. Für jedes $\lambda >0$ ist dann folgende maximale Ungleichung erfüllt:

$\lambda \mu \left(\{x:f^{*}(x)>\lambda \}\right)\le b_N\int |f|d\mu$

Siehe auch

• Überdeckungssatz von Vitali
• Überdeckungslemma von Wiener

Literatur

• Besicovitch, A. S.: A general form of the covering principle and relative differentiation of additive functions, I. Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 41, Seiten 103–110, 1945
• Besicovitch, A. S.: A general form of the covering principle and relative differentiation of additive functions, II. Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 42, Seiten 205–235, 1946
• Füredi, Z und Loeb, P.A.: On the best constant for the Besicovitch covering theorem. Proceedings of the American Mathematical Society, 121, Seiten 1063–1073, 1994
• Di Benedetto, E: Real analysis. Birkhäuser 2002, ISBN 0-8176-4231-5