Hardy-Littlewood-Maximalfunktion

In der Mathematik ist die Hardy-Littlewood-Maximalfunktion ein wichtiger nichtlinearer Operator, der in der reellen Analysis und der harmonischen Analyse verwendet wird. Sie ist ein zentrales Beispiel einer Maximalfunktion. Außerdem stellt sie eine der zentralen Anwendungen des Interpolationssatzes von Marcinkiewicz dar.

Definition

Sei $f \in L_{}^{1} (ℝ^{N})$ , dann definiert man die Hardy-Littlewood-Maximalfunktion $M f : ℝ^{N} \to ℝ$ durch

M f (x) : = \sup_{δ > 0} \frac{1}{| B_{δ} (x) |} \int_{B_{δ} (x)} | f (y) | d y

,

wobei $| B_{δ} (x) |$ das $N$ -dimensionale Volumen der Kugel $B_{δ} (x)$ um $x$ mit Radius $δ$ bezeichnet.

Die Menge $A_{M f} (t) : = {x \in ℝ^{N} : M f (x) > t}$ ist offen. Das ergibt sich aus der Absolutstetigkeit des Integrals.
$M f$ ist sublinear, das heißt $M (f + g) (x) \leq M f (x) + M g (x)$ .
Ist $f \in L^{\infty} (ℝ^{N})$ eine wesentlich beschränkte Funktion, so gilt $M f (x) ⩽ ‖ f ‖_{L^{\infty} (ℝ^{N})}$ , das heißt $Mf \in L^{\infty} (ℝ^{N})$ .
Die Funktion $M f : ℝ^{N} \to [0, \infty]$ ist messbar ( $M f$ ist punktweise das Supremum von stetigen Funktionen), das heißt $M f \in M (ℝ^{N})$ .

Für $f \in L^{1} (ℝ^{N})$ und $t > 0$ gilt:

λ_{M f} (t) = | {x \in ℝ^{N} : M f (x) > t} | ⩽ C (N) \frac{‖ f ‖_{L^{1} (ℝ^{N})}}{t}

mit einer nur von $N$ abhängigen Konstanten $C = C (N)$ .

Es ist zu beachten, dass $c (N) = b (N)$ und $c$ somit eine Besicovitch-Konstante ist.

Für $1 < p < \infty$ und $f \in L^{P} (ℝ^{N})$ gilt

‖ M f ‖_{L^{P} (ℝ^{N})} ⩽ C (n, p) ‖ f ‖_{L^{P} (ℝ^{N})}

Elias M. Stein and Rami Shakarchi: Real Analysis: Measure Theory, Integration, and Hilbert Spaces. Princeton University Press 2005, ISBN 0-691-11386-6
Elias M. Stein: Singular Integrals and Differentiability Properties of Functions. Princeton University Press 1971
Kinnunen J. The hardy-littlewood maximal function of a sobolev function. Isr. J. Math. 100, Seite 117–124, 1997