Cauchy-Produktformel

Die Cauchy-Produktformel, auch Cauchy-Produkt oder Cauchy-Faltung, benannt nach dem französischen Mathematiker Augustin Louis Cauchy gestattet die Multiplikation unendlicher Reihen. Dabei handelt es sich um eine diskrete Faltung.

Definition

Sind $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ und $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{b}_n$ zwei absolut konvergente Reihen, dann ist die Reihe

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_n$ mit $c_n=\sum _{k=0}^n{a}_k{b}_{n-k}=\sum _{i+j=n}{a}_i{b}_j$

ebenfalls eine absolut konvergente Reihe und es gilt

$\left(\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n\right)\cdot \left(\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{b}_n\right)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_n.$

Die Reihe $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_n$ wird Cauchy-Produkt der Reihen $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ und $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{b}_n$ genannt. Die Koeffizienten $c_n$ können als diskrete Faltung der Vektoren $(a_0,a_1,\dots ,a_n)$ und $(b_0,b_1,\dots ,b_n)$ aufgefasst werden.

Schreibt man diese Formel aus, so erhält man:

$\left(\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n\right)\cdot \left(\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{b}_n\right)=\underset{c_0}{\underbrace{(a_0{b}_0)}}+\underset{c_1}{\underbrace{(a_0{b}_1+a_1{b}_0)}}+\underset{c_2}{\underbrace{(a_0{b}_2+a_1{b}_1+a_2{b}_0)}}+...+\underset{c_n}{\underbrace{(a_0{b}_n+a_1{b}_{n-1}+...+a_k{b}_{n-k}+...+a_n{b}_0)}}+...$

Bricht man diese Reihe bei einem gewissen Wert von $n$ ab, so erhält man eine Näherung für das gesuchte Produkt.

Speziell für die Multiplikation von Potenzreihen gilt

$\left(\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\alpha }_n{(x-x_0)}^n\right)\cdot \left(\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\beta }_n{(x-x_0)}^n\right)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\left(\sum _{k=0}^n{\alpha }_k{\beta }_{n-k}\right)(x-x_0{)}^n.$

Beispiele

Anwendung auf die Exponentialfunktion

Als Anwendungsbeispiel soll gezeigt werden, wie sich die Funktionalgleichung der Exponentialfunktion aus der Cauchy-Produktformel herleiten lässt. Die Exponentialfunktion $e^x={\sum }_{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n!}$ konvergiert bekanntlich absolut. Daher kann man das Produkt $e^x{e}^y$ mittels des Cauchy-Produktes berechnen und erhält

$e^x{e}^y=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n!}\cdot \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{y^n}{n!}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{k=0}^n\frac{1}{k!}\frac{1}{(n-k)!}{x}^k{y}^{n-k}$

Nach Definition des Binomialkoeffizienten $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})=\frac{n!}{k!(n-k)!}$ kann man das weiter umformen als

$=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n!}\sum _{k=0}^n\frac{n!}{k!(n-k)!}{x}^k{y}^{n-k}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n!}\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})x^k{y}^{n-k}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n!}(x+y{)}^n=e^{x+y}$

wobei das vorletzte Gleichheitszeichen durch den binomischen Lehrsatz gerechtfertigt ist.

Eine divergente Reihe

Es soll das Cauchy-Produkt

$\left(\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{\sqrt{n+1}}\right)\cdot \left(\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{\sqrt{n+1}}\right)$

einer nur bedingt konvergenten Reihe mit sich selbst gebildet werden.

Hier gilt

$c_n=\sum _{k=0}^n\frac{(-1{)}^k}{\sqrt{k+1}}\cdot \frac{(-1{)}^{n-k}}{\sqrt{n-k+1}}=(-1{)}^n\sum _{k=0}^n\frac{1}{\sqrt{(k+1)(n-k+1)}}.$

Mit der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel $\sqrt{ab}\le \frac{1}{2}(a+b)$ angewendet auf die Wurzel im Nenner folgt

$|c_n|\ge \sum _{k=0}^n\frac{2}{n+2}=\frac{2(n+1)}{n+2}\ge 1.$

Da die $c_n$ somit keine Nullfolge bilden, divergiert die Reihe $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_n.$

Berechnung der inversen Potenzreihe

Mit Hilfe der Cauchy-Produktformel kann die Inverse einer Potenzreihe mit reellen oder komplexen Koeffizienten berechnet werden. Wir setzen hierfür $f(z)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{z}^n$ und $\frac{1}{f(z)}=\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}{b}_m{z}^m$. Die Koeffizienten $b_m$ berechnen wir mithilfe von:

$1=f(z)\cdot \frac{1}{f(z)}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{z}^n\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}{b}_m{z}^m=\sum _{r=0}^{\mathrm{\infty }}\left(\sum _{l=0}^r{a}_l{b}_{r-l}\right)\cdot z^r$,

wobei wir im letzten Schritt die Cauchy-Produktformel verwendet haben. Mit einem Koeffizientenvergleich folgt daraus:

$r=0:a_0{b}_0=1\Rightarrow b_0=\frac{1}{a_0}.$

$r=1:a_0{b}_1+a_1{b}_0=0\Rightarrow b_1=-\frac{a_1{b}_0}{a_0}=-\frac{a_1}{a_0^2}.$

$r=2:a_0{b}_2+a_1{b}_1+a_2{b}_0=0\Rightarrow b_2=-\frac{a_1{b}_1}{a_0}-\frac{a_2{b}_0}{a_0}=\frac{a_1^2}{a_0^3}-\frac{a_2}{a_0^2}.$

$r=3:a_0{b}_3+a_1{b}_2+a_2{b}_1+a_3{b}_0=0\Rightarrow b_3=-\frac{a_1{b}_2}{a_0}-\frac{a_2{b}_1}{a_0}-\frac{a_3{b}_0}{a_0}=-\frac{a_1^3}{a_0^4}+\frac{2a_2{a}_1}{a_0^3}-\frac{a_3}{a_0^2}.$

$\dots$

Zur Vereinfachung und o. B. d. A. setzen wir $a_0=1$ und finden $\frac{1}{f(z)}=1-a_{1}z+(a_1^2-a_2)z^2+(-a_1^3+2a_1{a}_2-a_3)z^3+\dots =\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^i\cdot {\left(\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{z}^n\right)}^i$.

Verallgemeinerungen

Nach dem Satz von Mertens ist es schon ausreichend zu fordern, dass mindestens eine der beiden konvergenten Reihen absolut konvergiert, damit ihr Cauchy-Produkt konvergiert (nicht notwendigerweise absolut) und sein Wert das Produkt der gegebenen Reihenwerte ist.

Konvergieren beide Reihen nur bedingt, so kann es sein, dass ihr Cauchy-Produkt nicht konvergiert, wie obiges Beispiel zeigt. Wenn in diesem Fall jedoch das Cauchy-Produkt konvergiert, dann stimmt sein Wert nach einem Satz von Abel mit dem Produkt der beiden Reihenwerte überein.

Literatur

• Konrad Königsberger: Analysis 1. Springer, Berlin 2004, ISBN 3-540-41282-4