Satz von Mertens (Cauchy-Produkt)

Der Satz von Mertens (nach Franz Mertens) ist ein mathematischer Lehrsatz aus der Analysis, der eine Aussage über die Konvergenz eines Cauchy-Produkts zweier Reihen liefert.

Formulierung

Sind $A = \sum_{k = 0}^{\infty} a_{k}$ und $B = \sum_{k = 0}^{\infty} b_{k}$ konvergente Reihen, wobei mindestens eine der beiden absolut konvergiert, so konvergiert das Cauchy-Produkt $\sum_{k = 0}^{\infty} c_{k}$ , wobei $c_{k} = \sum_{j = 0}^{k} a_{j} b_{k - j}$ ist, gegen $A B$ .

Beweis

Ohne Einschränkung sei $A$ die absolut konvergente Reihe. Zu zeigen ist nun, dass die Partialsumme $S_{n} = \sum_{k = 0}^{n} c_{k}$ gegen $A B$ konvergiert.

Im Folgenden sei $A_{n} : = \sum_{k = 0}^{n} a_{k}$ und $B_{n} = \sum_{k = 0}^{n} b_{k}$ .

Datei:Summationcauchy.JPG

Cauchyprodukt

$A B$ lässt sich schreiben als $(A - A_{n}) B + \sum_{k = 0}^{n} a_{k} B$
$S_{n}$ lässt sich schreiben als $\sum_{k = 0}^{n} a_{k} B_{n - k}$

Die Differenzbildung 1.- 2. ergibt

A B - S_{n} = (A - A_{n}) B + \sum_{k = 0}^{n} a_{k} (B - B_{n - k})

Dabei konvergiert $(A - A_{n}) B$ gegen Null und mit $N : = ⌊ \frac{n}{2} ⌋$ lässt sich letzte Reihe aufspalten zu

\underset{= P_{n}}{\underset{⏟}{\sum_{k = 0}^{N} a_{k} (B - B_{n - k})}} + \underset{= Q_{n}}{\underset{⏟}{\sum_{k = N + 1}^{n} a_{k} (B - B_{n - k})}} .

Es gilt

| P_{n} | \leq \sum_{k = 0}^{N} | a_{k} | \cdot | B - B_{n - k} | \leq \max_{N \leq k \leq n} | B - B_{k} | \sum_{k = 0}^{N} | a_{k} | \to 0,

denn letzter Ausdruck ist ein Produkt von einer Nullfolge mit einer beschränkten Folge. Da die Nullfolge $(B - B_{k})$ beschränkt sein muss, gibt es ein $C > 0$ mit $| B - B_{k} | < C \forall k \in ℕ$ . Daher ist

| Q_{n} | \leq \sum_{k = N + 1}^{n} | a_{k} | \cdot | B - B_{n - k} | \leq C \sum_{k = N + 1}^{n} | a_{k} | \to 0

nach dem Cauchy-Kriterium. Also gilt $A B - S_{n} \to 0$ , woraus unmittelbar $S_{n} \to A B$ folgt.

Das Cauchy-Produkt unter bedingter Konvergenz

Sind beide Ausgangsreihen nur bedingt konvergent, dann muss das Cauchy-Produkt nicht konvergieren, wie das Beispiel^[1] zeigt: Das Cauchy-Produkt der Reihen $A, B$ mit $a_{k} = b_{k} = \frac{(- 1)^{k}}{\sqrt{k + 1}}$ konvergiert nicht, siehe Cauchy-Produktformel#Eine divergente Reihe.

Hardy^[2] zeigte allerdings, dass das Cauchy-Produkt auch für zwei nur bedingt konvergente Reihen konvergiert, wenn die Folgen $a_{k} \cdot k$ und $b_{k} \cdot k$ beschränkt sind. Für die bekanntermaßen nicht absolut konvergenten Ausgangsreihen

A = B = \sum_{n = 0}^{\infty} (- 1)^{n} \frac{1}{2 n + 1}

mit Wert $\frac{π}{4}$ ist das Cauchy-Produkt also konvergent mit Wert $\frac{π^{2}}{16}$ .

Einzelnachweise

↑ Konrad Königsberger: Analysis 1 – 5. Auflage. Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York, ISBN 3-540-41282-4; S. 74 (Ende von Abschnitt 6.3)
↑ The Multiplication of Conditionally Convergent Series, G. H. Hardy, Proceedings of the London Mathematical Society, Volume s2-6, Issue 1, 1908, Pages 410–423, Vorlage:DOI

[1] Konrad Königsberger: Analysis 1 – 5. Auflage. Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York, ISBN 3-540-41282-4; S. 74 (Ende von Abschnitt 6.3)

[2] The Multiplication of Conditionally Convergent Series, G. H. Hardy, Proceedings of the London Mathematical Society, Volume s2-6, Issue 1, 1908, Pages 410–423, Vorlage:DOI

[1]

[2]

Satz von Mertens (Cauchy-Produkt)

Inhaltsverzeichnis

Formulierung

Beweis

Das Cauchy-Produkt unter bedingter Konvergenz

Einzelnachweise

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