Monoidring

Ein Monoidring kann als Verallgemeinerung eines Polynomrings aufgefasst werden. Dabei werden die Potenzen der Variablen durch Elemente aus einem Monoid ersetzt, was im Folgenden exakt definiert wird.

Definition

Sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins und $G$ ein Monoid, dann ist

$R[G]:=\{\alpha :G\to R|\alpha (x)=0\text{ für alle bis auf endlich viele }x\}$

mit der Addition

$(\alpha +\beta )(x):=\alpha (x)+\beta (x)$

und der Faltung

$(\alpha \beta )(z):=\sum _{xy=z}\alpha (x)\beta (y)$

als Multiplikation ein Ring. Die Konstruktion ist der des Polynomrings nachempfunden. Man schreibt $a\cdot x$ oder einfach $ax$ für die Abbildung $\alpha \in R[G]$, die an der Stelle $x$ den Wert $a$ und ansonsten $0$ annimmt. Beispielsweise gilt dann

$(a\cdot x)(b\cdot y)=(ab)\cdot (xy)\text{für }a,b\in R\text{ und }x,y\in G.$

$R[G]$ besitzt ein Einselement, nämlich $1\cdot e$, wobei $1$ das Einselement von $R$ und $e$ das Neutralelement von $G$ ist.

Ist $G$ eine Gruppe, so heißt $R[G]$ Gruppenring oder Gruppenalgebra; auch die Schreibweise $RG$ ist üblich.

$R[G]$ wird zur $R$-Algebra via $r\sum _i{r}_i{g}_i:=\sum _{i}r{r}_i{g}_i$

Eigenschaften

• $R[G]$ ist genau dann ein kommutativer Ring, wenn $G$ als Monoid kommutativ ist oder $R$ der Nullring ist.
• Jedes Element $\alpha \in R[G]$ lässt sich eindeutig schreiben als $\alpha =\sum _{x\in G}{a}_x\cdot x$ mit $a_x:=\alpha (x)$
• Falls $R$ nicht der Nullring ist, sind $R$ und $G$ auf natürliche Weise in $R[G]$ eingebettet, nämlich durch die injektiven Ring- bzw. Monoidhomomorphismen $f_0:R\to R[G],f_0(r)=r\cdot e$ und $f_1:G\to R[G],f_1(x)=1\cdot x$, wobei $1\cdot x$ wie oben definiert ist.
• Falls $R$ der Nullring ist, dann ist $R[G]$ isomorph zum Nullring
• Falls $G$ ein Monoid ist, $A,B$ kommutative Ringe und $f:A\to B$ ein Ringhomomorphismus, dann gibt es einen eindeutigen Homomorphismus $h:A[G]\to B[G]$. sodass $h\left(\sum _{x\in G}{a}_{x}x\right)=\sum _{x\in G}f(a_x)x$

Universelle Eigenschaft

Der Monoidring bzw. die Monoidalgebra kann auch – bis auf Isomorphie – über eine universelle Eigenschaft definiert werden. Seien $G$ und $R$ wie oben definiert. Es bezeichne $𝐌𝐨𝐧$ die Kategorie der Monoide und $𝐀𝐥{𝐠}_{𝐑}$ die Kategorie der (assoziativen) $R$-Algebren. Sei $U:𝐀𝐥{𝐠}_{𝐑}\to 𝐌𝐨𝐧$ der Vergissfunktor, d. h. der Funktor, der jeder $R$-Algebra ihr multiplikatives Monoid zuordnet.

Dann ist die kanonische Einbettung $\varphi :G\to U(R[G]),g\mapsto 1g$ universell, d. h.: Falls wir noch einen anderen Monoid-Homomorphismus $f:G\to U(A)$ in das multiplikative Monoid einer $R$-Algebra $A$ haben, dann existiert genau ein $R$-Algebra-Homomorphismus $\overline{f}:R[G]\to A$, so dass $U(\overline{f})\circ \varphi =f$.

In der obigen Konstruktion der Monoidalgebra sieht $\overline{f}$ wie folgt aus: $\overline{f}\left(\sum _i{r}_i{g}_i\right)=\sum _i{r}_{i}f(g_i)$.

Wenn wir den Funktor, der jedem Monoid seine Monoidalgebra über $R$ zuordnet, mit $F$ bezeichnen, ist also $F$ linksadjungiert zu $U$. So erhalten wir eine sehr kurze Definition der Monoidalgebra, jedoch muss man immer noch die Existenz beweisen.

Beispiele

• $R[{\mathbb{N}}_0]$ ist isomorph zum Polynomring in einer Unbestimmten über $R$.
• Ist allgemeiner $G$ ein freies kommutatives Monoid in $n$ Erzeugern, so ist $R[G]$ isomorph zum Polynomring in $n$ Unbestimmten über $R$.

Spezialfälle

• Es sei $G$ eine lokalkompakte topologische Gruppe. Ist $G$ nicht diskret, so enthält der Gruppenring $ℂ[G]$ keine Information über die topologische Struktur von $G$. Deshalb nimmt seine Rolle die Faltungsalgebra der integrierbaren Funktionen ein: Sei $\mu$ ein linksinvariantes Haarmaß auf $G$, dann bildet der Raum $L^1(G,\mu )$ mit der Faltung

$(f*g)(\sigma )=\underset{G}{\int }f(\tau )g({\tau }^{-1}\sigma )\mathrm{d}\mu (\tau )$

als Produkt eine Banachalgebra.

• Ist $A$ ein Ring und $G$ eine totalgeordnete Gruppe, deren Ordnung kompatibel mit der Gruppenoperation ist, d. h.

aus $\alpha <\beta$ und $\gamma <\delta$ folgt $\alpha \gamma <\beta \delta$,

so sei

$S(G,A)=\{f:G\to A\mid \mathrm{supp}f\text{ wohlgeordnet}\}$

mit $\mathrm{supp}f:=\{g\in G\mid f(g)\ne 0\}$. Mit der Faltung als Multiplikation und der komponentenweisen Addition wird $S(G,A)$ zu einem Ring. Ist $A$ ein Körper, so ist $S(G,A)$ ein Schiefkörper. Ist beispielsweise $G=\mathbb{Z}$ mit der natürlichen Ordnung, so ist $S(G,A)$ der Ring der formalen Laurentreihen mit Koeffizienten in $A$.

Literatur

• Serge Lang: Algebra, Graduate Texts in Mathematics, Revised Third Edition (Springer, 2002, ISBN 0-387-95385-X)