Beta-Verteilung

Beta-Verteilung für verschiedene Parameterwerte

Kumulative Verteilungsfunktion für verschiedene Parameterwerte

Die Beta-Verteilung ist eine Familie stetiger Wahrscheinlichkeitsverteilungen über dem Intervall $(0,1)$, parametrisiert durch zwei Parameter, die häufig als p und q – oder auch als α und β – bezeichnet werden. In der bayesschen Statistik ist die Beta-Verteilung die konjugierte a-priori-Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Bernoulli-, Binomial-, der negativen Binomial- und der geometrischen Verteilung.

Definition

Die Beta-Verteilung $\mathrm{Beta}(p,q)$ ist definiert durch die Wahrscheinlichkeitsdichte

$f(x)=\frac{1}{\mathrm{B}(p,q)}{x}^{p-1}(1-x{)}^{q-1}.$

Außerhalb des Intervalls $(0,1)$ wird sie durch $f(x)=0$ fortgesetzt. Für $p,q\ge 1$ lässt sich $(0,1)$ durch $[0,1]$ ersetzen. Die Beta-Verteilung besitzt die reellen Parameter $p$ und $q$ (in den nebenstehenden Grafiken $\alpha$ und $\beta$). Um ihre Normierbarkeit zu garantieren, wird $p,q>0$ (bzw. $\alpha ,\beta >0$) gefordert.

Der Vorfaktor $1/\mathrm{B}(p,q)$ dient der Normierung. Der Ausdruck

$\mathrm{B}(p,q)=\frac{\mathrm{\Gamma }(p)\mathrm{\Gamma }(q)}{\mathrm{\Gamma }(p+q)}=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{u}^{p-1}(1-u{)}^{q-1}\mathrm{d}u$

steht für die Betafunktion, nach der die Verteilung benannt ist. Dabei bezeichnet $\mathrm{\Gamma }$ die Gammafunktion.

Die Verteilungsfunktion ist entsprechend

$F(x)=\{\begin{array}{cc}0& \text{falls}x\le 0,\\ I_x(p,q)& \text{falls}0<x\le 1,\\ 1& \text{falls}x>1\end{array}$

mit

$I_x(p,q):=\frac{1}{\mathrm{B}(p,q)}\underset{0}{\overset{x}{\int }}{u}^{p-1}(1-u{)}^{q-1}\mathrm{d}u.$

Die Funktion $I_x(p,q)$ heißt auch regularisierte unvollständige Betafunktion.

Eigenschaften

Erwartungswert

Der Erwartungswert berechnet sich zu

$\mathrm{E}(X)=\frac{p}{p+q}$.

Modus

Der Modus, also die Maximalstelle der Dichtefunktion $f$, ist für $p>1$, $q>1$

${(1+\frac{q-1}{p-1})}^{-1}=\frac{p-1}{p+q-2}$.

Varianz

Die Varianz ergibt sich zu

$\mathrm{Var}(X)=\frac{pq}{(p+q+1)(p+q{)}^2}$.

Standardabweichung

Für die Standardabweichung ergibt sich

$\sigma =\sqrt{\frac{pq}{(p+q+1)(p+q{)}^2}}$.

Variationskoeffizient

Aus Erwartungswert und Varianz erhält man unmittelbar den Variationskoeffizienten

$\mathrm{VarK}(X)=\sqrt{\frac{q}{p(p+q+1)}}$.

Schiefe

Die Schiefe ergibt sich zu

$\mathrm{v}(X)=\frac{2(q-p)\sqrt{p+q+1}}{(p+q+2)\sqrt{pq}}$.

Höhere Momente

Aus der momenterzeugenden Funktion ergibt sich für die k-ten Momente

$\mathrm{E}(X^k)=\prod _{r=0}^{k-1}\frac{p+r}{p+q+r}$.

Symmetrie

Die Beta-Verteilung ist für $p=q$ symmetrisch um $x=\frac{1}{2}$ mit der Schiefe $\mathrm{v}(X)=0$.

Momenterzeugende Funktion

Die momenterzeugende Funktion einer betaverteilten Zufallsgröße lautet

$M_X(t)=1+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\left(\prod _{k=0}^{n-1}\frac{p+k}{p+q+k}\right)\frac{t^n}{n!}$.

Mit der hypergeometrischen Funktion ${}_1{F}_1$ erhält man die Darstellung

$M_X(t)={}_1{F}_1(p;q;t)$.

Charakteristische Funktion

Analog zur momenterzeugenden Funktion erhält man die charakteristische Funktion

${\phi }_X(t)={}_1{F}_1(p;q;it)$.

Beziehungen zu anderen Verteilungen

Spezialfälle

• Für $p=q=1$ ergibt sich als Spezialfall die stetige Gleichverteilung.
• Für $p=q=\frac{1}{2}$ ergibt sich als Spezialfall die Arcsin-Verteilung.

Grenzfälle

• Für $p\to 0$ und konstantes $q$ geht die Beta-Verteilung in eine Bernoulli-Verteilung $\mathrm{Ber}\left(0\right)$ über (eine entsprechende Zufallsgröße hat dann fast sicher den Wert null). Dasselbe gilt für $q\to \mathrm{\infty }$ bei konstantem $p$.
• Für $q\to 0$ und konstantes $p$ geht die Beta-Verteilung in eine Bernoulli-Verteilung $\mathrm{Ber}\left(1\right)$ über (eine entsprechende Zufallsgröße hat dann fast sicher den Wert eins). Dasselbe gilt für $p\to \mathrm{\infty }$ bei konstantem $q$.

Beides sieht man leicht durch entsprechende Grenzwertbildungen der Formeln für Erwartungswert und Varianz: Der Erwartungswert geht gegen null bzw. eins, die Varianz beide Male gegen null.

Beziehung zur Gammaverteilung

Wenn $X\sim \gamma (p_1,b)$ und $Y\sim \gamma (p_2,b)$ unabhängige gammaverteilte Zufallsvariablen sind mit den Parametern $p_1,b$ bzw. $p_2,b$, dann ist die Größe $\frac{X}{X+Y}$ betaverteilt mit Parametern $p_1$ und $p_2$, kurz

$\mathrm{Beta}(p_1,p_2)\sim \frac{\gamma (p_1,b)}{\gamma (p_1,b)+\gamma (p_2,b)}.$

Beziehung zur stetigen Gleichverteilung

Sind $X_1,X_2,\dots ,X_n$ unabhängige auf $[0,1]$ stetig gleich verteilte Zufallsvariable, dann sind die Ordnungsstatistiken $X_{(1)},X_{(2)},\dots ,X_{(n)}$ betaverteilt. Genauer gilt

$X_{(k)}\sim \mathrm{Beta}(k,n-k+1)$

für $k=1,\dots ,n$.

Mischverteilungen

Eine Binomialverteilung, deren Parameter $p$ betaverteilt ist, nennt man Beta-Binomialverteilung. Dies ist ein spezieller Fall einer Mischverteilung.

Beispiel

Vorlage:Hauptartikel Die Beta-Verteilung kann aus zwei Gammaverteilungen bestimmt werden: Der Quotient $X=U/(U+V)$ aus den stochastisch unabhängigen Zufallsvariablen $U$ und $V$, die beide gammaverteilt sind mit den Parametern $b$ und $p_u$ bzw. $p_v$, ist betaverteilt mit den Parametern $p_u$ und $p_v$. $U$ und $V$ lassen sich als Chi-Quadrat-Verteilungen mit $2p_u$ bzw. $2p_v$ Freiheitsgraden interpretieren.

Mit Hilfe der linearen Regression wird eine geschätzte Regressionsgerade $\hat{y}={\hat{\beta }}_0+{\hat{\beta }}_1{x}_i$ durch eine „Punktwolke“ mit $n$ Wertepaaren $\{x_i;y_i{\}}_{i=1,\dots ,n}$ zweier statistischer Merkmale $X$ und $Y$ gelegt, und zwar so, dass die Quadratsumme der senkrechten Abstände der $y_i$-Werte von der Geraden ${\hat{y}}_i$ minimiert wird.

Die Streuung der Schätzwerte ${\hat{y}}_i$ um ihren Mittelwert $\bar{\hat{y}}=\bar{y}$ kann durch $\text{SSE}\equiv \sum _{i=1}^n({\hat{y}}_i-\bar{y}{)}^2$ gemessen werden und die Streuung der Messwerte $y_i$ um ihren Mittelwert kann durch $\text{SST}\equiv \sum _{i=1}^n(y_i-\bar{y}{)}^2$ gemessen werden. Erstere stellt die „(durch die Regression) erklärte Quadratsumme“ (sum of squares explained, kurz: SSE) und letztere stellt die „totale Quadratsumme“ (sum of squares total, kurz: SST) dar. Der Quotient dieser beiden Größen ist das Bestimmtheitsmaß:

${𝑅}^2\equiv \frac{\text{SSE}}{\text{SST}}$.

Die „(durch die Regression) nicht erklärte Quadratsumme“ bzw. die „Residuenquadratsumme“ (residual sum of squares, kurz SSR) ist durch $\text{SSR}\equiv \sum _{i=1}^n(y_i-{\hat{y}}_i{)}^2$ gegeben. Durch die Quadratsummenzerlegung $\text{TSS}=\text{ESS}+\text{RSS}$ lässt sich das Bestimmtheitsmaß auch darstellen als

${𝑅}^2=\frac{\text{SSE}}{\text{SSE}+\text{SSR}}$.

Es ist also betaverteilt. Da das Bestimmtheitsmaß das Quadrat des Korrelationskoeffizienten von $x$ und $y$ darstellt ($R^2=r^2$), ist auch das Quadrat des Korrelationskoeffizienten betaverteilt. Allerdings kann die Verteilung des Bestimmtheitsmaßes beim globalen F-Test durch die F-Verteilung angegeben werden, die tabelliert vorliegt.

Verallgemeinerung: Beta-Verteilung auf (a,b)

Definition

Die allgemeine Beta-Verteilung ist definiert durch die Wahrscheinlichkeitsdichte

$f(x)=\frac{1}{B(a,b,p,q)}(x-a{)}^{p-1}(b-x{)}^{q-1},$

wobei $a$ und $b$ die obere und untere Grenze des Intervalls sind. Entsprechend ergibt sich die Berechnung von $B$ zu

$B(a,b,p,q)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}(u-a{)}^{p-1}(b-u{)}^{q-1}\mathrm{d}u=\frac{\mathrm{\Gamma }(p)\mathrm{\Gamma }(q)}{\mathrm{\Gamma }(p+q)}(b-a{)}^{p+q-1}.$

Eigenschaften

Ist $X$ betaverteilt auf dem Intervall $(0,1)$ mit Parametern $p$, $q$, dann ist

$Y=(b-a)X+a$

betaverteilt auf dem Intervall $(a,b)$ mit den gleichen Parametern $p$, $q$. Ist umgekehrt $Y$ betaverteilt auf $(a,b)$, dann ist

$X=\frac{Y-a}{b-a}$

betaverteilt auf $(0,1)$.

Beispiel

Im Dreieckstest werden drei Proben im gleichseitigen Dreieck angeordnet, wobei eine Ecke des gedachten Dreiecks nach oben zeigt. Zwei der drei Proben gehören zum Produkt A und eine Probe gehört zum Produkt B oder umgekehrt. Die Aufgabe des Probanden besteht nun darin, dasjenige Produkt zu finden, das nur einmal vorkommt. Die Wahrscheinlichkeit durch bloßes Raten die richtige Antwort zu geben beträgt $\frac{1}{3}$.

Verteilung der Erfolgswahrscheinlichkeiten einer Stichprobe im Dreieckstest (schwarze Linie) bei einer Rate-Erfolgswahrscheinlichkeit von $1/3$ (blaue Linie)

Die Erfolgswahrscheinlichkeiten variieren je nach sensorischen Fähigkeiten. Unter der Annahme, dass kein Proband absichtlich eine falsche Antwort gibt, liegt die Erfolgswahrscheinlichkeit bei niemandem unter $\frac{1}{3}$. Bei Feinschmeckern oder großen Geschmacksunterschieden kann diese theoretisch bis auf 100 % ansteigen. Im Folgenden wird für beliebige Rate-Erfolgswahrscheinlichkeiten $c$ mit $0<c<1$ die Beta-Verteilung auf $(c,1)$ hergeleitet. Aus den eben genannten Gründen modelliert diese Wahrscheinlichkeitsdichte die Erfolgswahrscheinlichkeiten der Probanden realistischer als eine Beta-Verteilung auf $(0,1)$.

Die Erfolgswahrscheinlichkeiten ${\pi }_i$ der einzelnen Probanden $i=1,\dots ,n$ seien zunächst betaverteilt auf $(0,1)$ mit Parametern $\alpha$ und $\beta$. Die korrigierten Erfolgswahrscheinlichkeiten auf $(c,1)$ ergeben sich aus $p_i=c+(1-c){\pi }_i$. Die Wahrscheinlichkeitsdichte von $p_i$ lässt sich über den Transformationssatz für Dichten bestimmen. Die Beta-Verteilung von ${\pi }_i$ hat eine positive Dichte im Intervall $(0,1)$. Die Transformation $u:(0,1)\to (c,1)$ mit $u(\pi )=c+(1-c)\pi =p$ ist ein Diffeomorphismus. Daraus erhält man die Umkehrfunktion $u^{-1}(p)=\frac{p-c}{1-c}$. Für die gesuchte Dichtefunktion von $p$ erhält man

$f_p(p)=f_{\pi }(u^{-1}(p))|\frac{\partial }{\partial p}{u}^{-1}(p)|=f_{\pi }\left(\frac{p-c}{1-c}\right)\left|\frac{1}{1-c}\right|=\frac{1}{1-c}{f}_{\pi }(\frac{p-c}{1-c}|\alpha ,\beta )$.

Diese Wahrscheinlichkeitsdichte von $p$ auf $(c,1)$ wird in Abhängigkeit von der Wahrscheinlichkeitsdichte von $\pi$ auf $(0,1)$ dargestellt. In der nebenstehenden Grafik ist beispielhaft eine Beta-Verteilung auf $(\frac{1}{3},1)$ mit Parametern $\alpha =0,5$ und $\beta =4$ eingezeichnet. Der Erwartungswert beträgt $40,7\mathrm{\%}$. Die durchschnittliche Erfolgswahrscheinlichkeit liegt damit $7,4\mathrm{\%}$ über der Rate-Erfolgswahrscheinlichkeit von $33,3\mathrm{\%}$.

Weblinks

• Sigrid Markstein: Mathematische und rechentechnische Aufbereitung der Betaverteilung 1. Art für technologische Untersuchungen.