S-Objekt

Ein S-Objekt ist im mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie eine Folge an Objekten mit Gruppenwirkungen der symmetrischen Gruppen auf ihnen. Verwendet werden S-Objekte insbesondere in der Algebraischen Topologie, etwa bei der Definition des symmetrischen Produktes, das Homotopie- und Homologiegruppen verbindet.

Definition

Ein S-Objekt in einer Kategorie $𝒞$ ist eine Folge an Objekten $(X_n{)}_{n\in \mathbb{N}}\subset \mathrm{Ob}𝒞$ mit jeweils einer Gruppenwirkung der symmetrischen Gruppe ${\mathrm{Sym}}_n$ auf $X_n$. Diese lässt sich auf zwei verschiedene Arten angeben. Eine Art ist als (kovarianter) Funktor $𝐁{\mathrm{Sym}}_n\to 𝒞,*\mapsto X_n$, wobei $𝐁{\mathrm{Sym}}_n$ die Kategorie mit nur einem Objekt ist, das man üblicherweise mit $*$ bezeichnet, und den Morphismen ${\mathrm{Aur}}_{𝐁{\mathrm{Sym}}_n}(*)={\mathrm{Hom}}_{𝐁{\mathrm{Sym}}_n}(*,*)\cong {\mathrm{Sym}}_n$. Eine andere Art ist als Gruppenhomomorphismus ${\mathrm{Sym}}_n\to \mathrm{Aut}(X_n)$.

Alternativ kann ein S-Objekt in einer Kategorie $𝒞$ mit der Permutationskategorie $𝐒𝐲𝐦$ auch kurz als (kovarianter) Funktor $𝐒𝐲𝐦\to 𝒞$ definiert werden.

Beispiele

Ein einfaches Beispiel für ein S-Objekt in der Kategorie der topologischen Räume $𝐓𝐨𝐩$ lässt sich aus einem einzelnen topologischen Raum $X$ konstruieren, indem $X_n=X^n$ einfach jeweils Produkte sind. Nun wirkt die symmetrische Gruppe ${\mathrm{Sym}}_n$ kanonisch auf diesen durch Permutation der Einträge. Über die Quotiententopologie und Limestopologie lässt sich mittels

${\mathrm{SP}}_n(X):=X^n/{\mathrm{Sym}}_n$

$\mathrm{SP}(X):=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\mathrm{SP}}_n(X)$

das symmetrische Produkt definieren. Nach dem Satz von Dold-Thom sind dessen Homotopiegruppen genau die reduzierten singulären Homologiegruppen des topologischen Raumes:

${\tilde{H}}_n(X,\mathbb{Z})={\pi }_n\mathrm{SP}(X).$

Literatur

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