Selbstadjungiertes Element

In der Mathematik nennt man ein Element einer *-Algebra selbstadjungiert, wenn sein Adjungiertes dasselbe Element ist.

Definition

Sei $𝒜$ eine *-Algebra, so heißt ein Element $a\in 𝒜$ selbstadjungiert, falls Vorlage:Nowrap

Die Menge der selbstadjungierten Elemente wird mit ${𝒜}_{sa}$ bezeichnet.

Eine Teilmenge $ℬ\subseteq 𝒜$, die unter der Involution * abgeschlossen ist, also $ℬ={ℬ}^{*}$ erfüllt, heißt selbstadjungiert.

Besonders interessant ist der Fall, bei dem $𝒜$ eine vollständige normierte *-Algebra ist, die die C*-Eigenschaft ($\Vert a^{*}a\Vert ={\Vert a\Vert }^2\mathrm{\forall }a\in 𝒜$) erfüllt, eine sogenannte C*-Algebra.

Vor allem in der älteren Literatur zu *-Algebren bzw. C*-Algebren werden solche Elemente häufig auch hermitesch genannt. Auch in der neueren Literatur finden sich teilweise in Anlehnung daran die Schreibweisen ${𝒜}_h$, ${𝒜}_H$ oder $H(𝒜)$ für die Menge der selbstadjungierten Elemente.

Beispiele

• Jedes positive Element einer C*-Algebra ist selbstadjungiert.
• Für jedes Element $a$ einer *-Algebra sind die Elemente $a{a}^{*}$ und $a^{*}a$ selbstadjungiert, da * ein involutiver Antiautomorphismus ist.
• Für jedes Element $a$ einer *-Algebra sind Real- und Imaginärteil $\mathrm{Re}(a)=\frac{1}{2}(a+a^{*})$ und $\mathrm{Im}(a)=\frac{1}{2\mathrm{i}}(a-a^{*})$ selbstadjungiert, wobei $\mathrm{i}$ die imaginäre Einheit bezeichnet.
• Sei $a\in {𝒜}_N$ ein normales Element einer C*-Algebra $𝒜$, dann definiert jede reellwertige Funktion $f$, die auf dem Spektrum von $a$ stetig ist, mittels stetigem Funktionalkalkül ein selbstadjungiertes Element Vorlage:Nowrap

Kriterien

Sei $𝒜$ eine *-Algebra. Dann gilt:

• Sei $a\in 𝒜$, dann ist $a^{*}a$ selbstadjungiert, da Vorlage:Nowrap Analog rechnet man nach, dass auch $a{a}^{*}$ selbstadjungiert ist.
• Ist $a=a_1{a}_2$ das Produkt zweier selbstadjungierter Elemente $a_1,a_2\in {𝒜}_{sa}$. Dann ist $a$ genau dann selbstadjungiert, wenn $a_1$ und $a_2$ kommutieren, da stets $(a_1{a}_2{)}^{*}=a_2^{*}{a}_1^{*}=a_2{a}_1$ gilt.
• Ist $𝒜$ eine C*-Algebra, so ist ein normales Element $a\in {𝒜}_N$ genau dann selbstadjungiert, wenn sein Spektrum reell ist, also Vorlage:Nowrap

Eigenschaften

In *-Algebren

Sei $𝒜$ eine *-Algebra. Dann gilt:

• Jedes Element $a\in 𝒜$ kann eindeutig in Real- und Imaginärteil zerlegt werden, das heißt es existieren eindeutig bestimmte Elemente $a_1,a_2\in {𝒜}_{sa}$, sodass $a=a_1+\mathrm{i}{a}_2$ gilt. Dabei ist $a_1=\frac{1}{2}(a+a^{*})$ und Vorlage:Nowrap
• Die Menge der selbstadjungierten Elemente ${𝒜}_{sa}$ ist ein reeller Untervektorraum von Vorlage:Nowrap Aus der vorherigen Eigenschaft ergibt sich, dass $𝒜$ die direkte Summe zweier reeller Untervektorräume ist, also Vorlage:Nowrap
• Sei $a\in {𝒜}_{sa}$ selbstadjungiert, dann ist $a$ normal.
• Die *-Algebra $𝒜$ heißt hermitesche *-Algebra, wenn jedes selbstadjungierte Element $a\in {𝒜}_{sa}$ ein reelles Spektrum $\sigma (a)\subseteq ℝ$ hat.

In C*-Algebren

Sei $𝒜$ eine C*-Algebra und Vorlage:Nowrap Dann gilt:

• Für das Spektrum gilt $\Vert a\Vert \in \sigma (a)$ oder $-\Vert a\Vert \in \sigma (a)$, da $\sigma (a)$ reell ist und für den Spektralradius $r(a)=\Vert a\Vert$ gilt, weil $a$ normal ist.
• Es existieren nach dem stetigen Funktionalkalkül eindeutig bestimmte positive Elemente $a_{+},a_{-}\in {𝒜}_{+}$, sodass $a=a_{+}-a_{-}$ mit Vorlage:Nowrap Es gilt Vorlage:Nowrap Man bezeichnet $a_{+}$ und $a_{-}$ auch als Positiv- und Negativteil. Darüber hinaus gilt $|a|=a_{+}+a_{-}$ für den für ein beliebiges Element definierten Betrag Vorlage:Nowrap
• Es existiert für jedes $a\in {𝒜}_{+}$ und ungerades $n\in \mathbb{N}$ ein eindeutig bestimmtes $b\in {𝒜}_{+}$, das $b^n=a$ erfüllt, das heißt eine $n$-te Wurzel, wie man mit dem stetigen Funktionalkalkül zeigen Vorlage:Nowrap

Siehe auch

• Selbstadjungierte Matrix
• Selbstadjungierter Operator

Literatur

• Jacques Dixmier: C*-algebras. Aus dem Französischen von Francis Jellett. North-Holland, Amsterdam/New York/Oxford 1977, ISBN 0-7204-0762-1.
• Richard V. Kadison, John R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras. Volume 1 Elementary Theory. Academic Press, New York/London 1983, ISBN 0-12-393301-3.
• Theodore W. Palmer: Banach algebras and the general theory of*-algebras: Volume 2,*-algebras. Cambridge university press, 1994, ISBN 0-521-36638-0.