Klassischer Wiener-Raum

Der klassische Wiener-Raum bezeichnet in der Stochastik den Raum, auf dem Norbert Wiener sein Wiener-Maß im Jahre 1923 konstruiert hat. Wiener selbst nannte diesen Raum Differentialraum (Vorlage:EnS). Er konstruierte das Wiener-Maß als ein Gaußsches Maß auf einer unendlichdimensionalen Sphäre im Funktionenraum der stetigen Funktionen auf dem Interval $[0,1]$.

Den Wiener-Raum nennt man klassisch zur Unterscheidung zwischen dem von Wiener betrachteten Raum und der von Leonard Gross verallgemeinerten Konstruktion des abstrakten Wiener-Raumes.

Der klassische Wiener-Raum

Die Wiener-Sphäre

Wiener betrachtete Differentiale ${\dot{B}}_t=d{B}_t/dt$ eines Pfades der brownschen Bewegung. Dass die brownsche Bewegung eigentlich nirgends-differenzierbar ist (außer im distributionalen Sinne), bewies er erst rund 10 Jahre später. Informell berechnete er die $L^2[0,1]$-Norm von ${\dot{B}}_t$ unter Verwendung der Eigenschaft $d{B}_t^2=dt$

$\Vert {\dot{B}}_t{\Vert }^2=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\dot{B}}_t^2\mathrm{d}t=\underset{0}{\overset{1}{\int }}(1/\mathrm{d}t)\mathrm{d}t=(1/\mathrm{d}t)=\mathrm{\infty }$

und somit $\Vert {\dot{B}}_t\Vert =\sqrt{\mathrm{\infty }}=\mathrm{\infty }$.

Inspiriert durch Diskussionen mit Paul Lévy sah Wiener ${\dot{B}}_t$ auf der unendlichdimensionalen Sphäre $S^{\mathrm{\infty }}(\sqrt{\mathrm{\infty }})$ mit Radius $\mathrm{\infty }$ und interpretierte die Normalverteilung als die Gleichverteilung auf der Sphäre. Diese Vorstellung geht zurück auf Henri Poincaré. Poincaré bemerkte, dass wenn ein Zufallsvektor $x=(x_1,\dots ,x_n{)}^T$ der Gleichverteilung auf $S^{n-1}(\sqrt{n})$ oder äquivalent unter Skalierung auf $S^{n-1}(1)$ folgt, dann gilt für den Grenzwert $m$ fixierter Punkte in der unendlichdimensionalen Sphäre

$\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{n\to \mathrm{\infty }}\mathbb{P}(\bigcap _{i=1}^m{x}_i\in [a_i,b_i])=\underset{a_1}{\overset{b_1}{\int }}\frac{e^{-\frac{x^2}{2}}}{\sqrt{2\pi }}\mathrm{d}x\cdots \underset{a_m}{\overset{b_m}{\int }}\frac{e^{-\frac{x^2}{2}}}{\sqrt{2\pi }}\mathrm{d}x.$

Sei nun $\omega :[0,\mathrm{\infty })\to ℝ$ ein Beispielpfad der eindimensionalen Standard-Brownschen-Bewegung und $e_1,e_2,\dots$ eine Orthonormalbasis von $L^2[0,\mathrm{\infty })$, dann induziert die Abbildung

$\omega (t)\to ({\omega }_1,{\omega }_2,\dots )$

definiert durch

${\omega }_n=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}_n(t)\mathrm{d}\omega (t)$

einen Isomorphismus zwischen der brownschen Bewegung und dem Raum ${ℝ}^{\mathrm{\infty }}$ mit der Grenzwert-Verteilung von Poincaré

$\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{n\to \mathrm{\infty }}\mathbb{P}(\bigcap _{i=1}^m\omega (t)\in [a_i,b_i])=\underset{a_1}{\overset{b_1}{\int }}\frac{e^{-\frac{x^2}{2}}}{\sqrt{2\pi }}\mathrm{d}x\cdots \underset{a_m}{\overset{b_m}{\int }}\frac{e^{-\frac{x^2}{2}}}{\sqrt{2\pi }}\mathrm{d}x.$

Herleitung des Wiener-Raumes

Sei $(\mathrm{\Omega },ℱ,\mathbb{P})$ ein Wahrscheinlichkeitsraum.

Es gibt unterschiedliche Wege einen stochastischen Prozess zu sehen. Die klassische Interpretation ist, dass ein stochastischer Prozess eine Familie von Zufallsvariablen mit der Index-Menge $T$ ist, induziert durch $\{X_t:\mathrm{\Omega }\to Z,t\in T\}.$ Ein stochastischer Prozess ist aber auch eine Familie von Zufallsfunktionen (Vorlage:EnS) für jedes $\omega \in \mathrm{\Omega }$ induziert durch

$\omega \mapsto \{t\mapsto X_t(\omega )\}.$

Die Zufallsfunktionen sind Punkte im Funktionenraum $ℱ(T,E)$ aller Funktionen von $T$ nach $E$. Es ist bekannt, dass man den Raum $ℱ(T,E)$ mit dem Produktraum $E^T$ identifizieren kann und wir betrachten somit eine Abbildung $\mathrm{\Omega }\to E^T.$ Möchten wir nun einen $d$-dimensionalen reellen Prozess definieren und wählen $E^T:=({ℝ}^d{)}^{[0,\mathrm{\infty })}$, so werden wir in Probleme der Messbarkeit laufen. Deshalb definieren wir die Koordinaten-Abbildungen $Y_t:E^T\to E$ durch

$y\mapsto y_t(\omega )=\omega (t)$

welche einen stochastischen Prozess $(Y_t)$ bilden und definieren deren kleinste σ-Algebra ${ℰ}^T=\sigma (Y_t:t\ge 0)$. Die Zufallsvariable $Y_t$ nennt man auch kanonische Version von $X_t$ oder Koordinaten-Funktional (). Weiter existiert eine Abbildung $\phi$ definiert durch

$Y_t(\phi (\omega ))=\phi (\omega )(t)=X_t(\omega ).$

Ein stochastischer Prozess ist somit genau dann ein stochastischer Prozess, wenn er ${ℰ}^T$-messbar ist.

Für ein Wahrscheinlichkeitsmaß $P$ auf $E^T$ können wir nun eine Familie von endlichdimensionalen Verteilungen für $t=(t_1,\dots ,t_n)\in T$ durch

$Q_t(A)=P[\omega \in E^T:(\omega (t_1),\dots ,\omega (t_n))\in A],A\in ℬ(E^n)$

definieren, wobei die Menge

$\{\omega \in E^T:(\omega (t_1),\dots ,\omega (t_n))\in A\}$

Zylindermenge genannt wird und $ℬ(E^n)$ die kleinste σ-Algebra aller Zylindermengen in $E^T$ bezeichnet. Umgekehrt gilt nach dem Erweiterungssatz von Daniell-Kolmogorov, dass für jede konsistente Familie $\{Q_t\}$ ein Wahrscheinlichkeitsmaß $P$ existiert, so dass

$Q_t(A)=P[\omega \in E^T:(\omega (t_1),\dots ,\omega (t_n))\in A]$

gilt. Dies führt zur Konstruktion des Wiener-Maßes der brownschen Bewegung.

Satz von Wiener

Es existiert ein eindeutiges Wahrscheinlichkeitsmaß ${\mu }_W$ auf dem Raum der $d$-dimensionalen reellen Funktionen, die stetig auf ${ℝ}_{+}$ sind und Null auf Null abbilden,

$C_0({ℝ}_{+}):=C_0({ℝ}_{+},ℝ):=\{\omega :\omega \text{ ist stetig auf }{ℝ}_{+},\omega (0)=0\},$

so dass der Koordinaten-Prozess die brownsche Bewegung ist. Dieses Maß nennt man Wiener-Maß.

$C_0({ℝ}_{+})$ heißt klassischer Wiener-Raum. In der Literatur wird auch das Tripel selbst $(C_0({ℝ}_{+}),ℬ(C_0),{\mu }_W)$ als klassischer Wiener-Raum bezeichnet, wobei $ℬ(C_0)$ die kleinste σ-Algebra der Koordinaten-Abbildungen ist und mit der borelschen σ-Algebra übereinstimmt.

Erläuterungen zur σ-Algebra

Sei $Y_t:C_0({ℝ}_{+},ℝ)\to ℝ$. Dann gilt $ℬ(C_0)=C_0({ℝ}_{+},ℝ)\cap {ℬ}^{[0,\mathrm{\infty })}(ℝ)=\sigma (Y_t:t\in [0,\mathrm{\infty }))$, wobei hier mit $ℬ$ die Borelsche σ-Algebra notiert ist.

Eigenschaften

• Der klassische Wiener-Raum $C_0(T)$ für $T=[0,1]$ mit der Supremumsnorm

$\Vert \omega {\Vert }_{\mathrm{\infty }}=\underset{t\in T}{\sup }|\omega (t)|$

ist ein separabler Banach-Raum, da $T$ kompakt und die Funktionen stetig sind. Für $T={ℝ}_{+}$ benötigt man zusätzlich die Bedingung $\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{t\to \mathrm{\infty }}{t}^{-1}|\omega (t)|=0$, damit man einen Banach-Raum unter Supremumsnorm erhält.

• Sei $H\subset C_0([0,R])$ ein Hilbertraum und die Einbettung $i:H\hookrightarrow C_0([0,R])$ stetig, dann gilt ${\mu }_W(H)=0$. Dies wurde 1973 von Smolyanow und Uglanow sowie unabhängig im selben Jahr von Guerquin gezeigt. Es existiert aber ein Hilbertraum $H\subset C_0([0,R])$ mit schwächerer Topologie und ${\mu }_W(H)=1$, was 1993 von Uglanow gezeigt wurde.

Literatur

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Über die Wiener-Sphäre

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Allgemein historisches zu Wieners Konstruktion

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