Milnor-Faserung

In der Mathematik sind Milnor-Faserungen ein häufig studiertes Beispiel der Singularitätentheorie.

Definition

Sei $f:{ℂ}^{n+1}\to ℂ$ ein Polynom in $n+1$ Variablen, für das $f(0)=0$ und $0\in {ℂ}^{n+1}$ ein kritischer Punkt ist. Sei $V(f)=\{x\in {ℂ}^{n+1}:f(x)=0\}$ und $S_{ϵ}=\{x\in {ℂ}^{n+1}:\Vert x\Vert =ϵ\}$ für ein kleines $ϵ>0$.

Als Milnor-Faserung bezeichnet man die Abbildung

$\frac{f}{\Vert f\Vert }:S_{ϵ}\setminus (S_{ϵ}\cap V(f))\to S^1$.

Als Milnor-Fasern bezeichnet man die Fasern (Urbilder) dieser Abbildung.

Eigenschaften der Milnor-Faserung

• Für $B_{ϵ}=\{x\in {ℂ}^{n+1}:\Vert x\Vert \le ϵ\}$ ist $B_{ϵ}\cap V(f)$ ein Kegel über $S_{ϵ}\cap V(f)$. Letzteres wird als Link der Singularität bezeichnet.
• Der Link der Singularität $S_{ϵ}\cap V(f)$ ist $(n-2)$-zusammenhängend.
• Die Abbildung $\frac{f}{\Vert f\Vert }:S_{ϵ}\setminus (S_{ϵ}\cap V(f))\to S^1$ ist eine lokal-triviale Faserung.
• Wenn $r$ die komplexe Dimension des Keims der kritischen Menge von $f{\mid }_{V(f)}$ ist, dann sind die Milnor-Fasern $(n-r-1)$-zusammenhängend. Insbesondere sind im Fall isolierter Singularitäten die Milnor-Fasern $(n-1)$-zusammenhängend.
• Die Milnor-Fasern haben den Homotopietyp eines endlichen CW-Komplexes der reellen Dimension $n$. Im Fall isolierter Singularitäten haben die Milnor-Fasern den Homotopietyp eines Bouquets von $\mu$ $n$-Sphären. Die Zahl $\mu$ heißt die Milnor-Zahl der Singularität. Sie kann berechnet werden als

$\mu ={\dim }_{ℂ}(ℂ\{z_1,\dots ,z_{n+1}\}/(\frac{\partial f}{\partial z_1},\dots ,\frac{\partial f}{\partial z_{n+1}}))$,

wobei $ℂ\{z_1,\dots ,z_{n+1}\}$ die $ℂ$-Algebra der Keime analytischer Funktionen in $0\in {ℂ}^{n+1}$ ist.

• Die Milnor-Fasern sind parallelisierbar.
• Monodromiesatz: Sei $h:F\to F$ die Monodromie der Milnor-Faserung. Dann sind die Eigenwerte von

$h^{*}:H^i(F;ℂ)\to H^i(F;ℂ)$

stets Einheitswurzeln. Tatsächlich gibt es positive Zahlen $p$ und $q=i+1$, so dass

$((h^{*}{)}^p-id{)}^q=0$.

Beispiel

Für

$f(z_1,z_2)=z_1^p+z_2^q$

ist $n=1$, $S_{ϵ}\simeq S^3$, $S_{ϵ}\cap V(f)$ ein $(p,q)$-Torusknoten, und die Existenz der Milnor-Faserung zeigt, dass es sich bei Torusknoten um gefaserte Knoten handelt. Die Faser ist eine nicht-kompakte Fläche, welche den Homotopietyp eines Bouquets von Kreisen hat, also eines $1$-dimensionalen CW-Komplexes.

Literatur

• John Milnor: Singular points of complex hypersurfaces. Princeton 1968.