Familien-Indexsatz

In der Mathematik ist der Familien-Indexsatz eine Verallgemeinerung des Indexsatzes von Atiyah-Singer auf Familien von Differentialoperatoren, d. h. Faserbündel mit faserweisen Differentialoperatoren.

Topologischer und analytischer Index für Familien von Fredholm-Operatoren

Sei $E\to X$ ein Vektorbündel. Sei $\pi :Z\to Y$ ein Faserbündel mit Faser $X$ und $p:\tilde{E}\to Z$ ein Faserbündel, so dass $\pi \circ p:\tilde{E}\to Y$ ein Faserbündel mit Faser $E$ ist.

Für Vektorbündel $E,F$ über $X$ bezeichne mit $\overline{{𝒫}^m}(X,E,F)$ die Vervollständigung des Raums der Pseudodifferentialoperatoren $m$-ter Ordnung von $C^{\mathrm{\infty }}(X,E)$ nach $C^{\mathrm{\infty }}(X,F)$. Man kann dann ein Faserbündel $\overline{{𝒫}^m}(Z,\tilde{E},\tilde{F})$ über $Y$ mit Faser $\overline{{𝒫}^m}(X,E,F)$ konstruieren. Ein stetiger Schnitt dieses Bündels ist eine durch $X$ parametrisierte stetige Familie von Pseudodifferentialoperatoren. Eine solche Familie heißt elliptisch, wenn jedes $P_y,y\in Y$ ein elliptischer Pseudodifferentialoperator ist. Weiter kann man ein „Symbolbündel“ $Symb(Z,\tilde{E},\tilde{F})$ und eine Symbolabbildung $\overline{{𝒫}^m}(Z,\tilde{E},\tilde{F})\to Symb(Z,\tilde{E},\tilde{F})$ konstruieren.

Nach dem Satz von Atiyah-Jänich entspricht eine durch $y\in Y$ parametrisierte Familie von Fredholm-Operatoren $P_y$ einem Element in $K(Y)$, der topologischen K-Theorie von $Y$. Dieses Element wird als $ind(P)$ bezeichnet. Es hängt nur vom Symbol $\sigma$ ab und kann deshalb auch als $ind(\sigma )$ bezeichnet werden. Durch $\sigma \to ind(\sigma )$ erhält man also für den Thom-Raum $TZ$ des Vektorbündels $Z$ eine Abbildung $K(TZ)\to K(Y)$, den „analytischen Index“ der Familie $P_y$.

Andererseits kann man den „topologischen Index“ der Familie $P_y$ definieren wie folgt. Nach dem Einbettungssatz von Whitney hat man eine Einbettung $X\to {ℝ}^k$ und dann eine Einbettung $i:Y\to Z\times {ℝ}^k$. Für die Thom-Räume erhält man einen Homomorphismus $i_{!}:K(TZ)\to K(Y\times T{ℝ}^k)$. Weiter hat man durch Bott-Periodizität einen Isomorphismus $j_{!}:K(Y)\to K(Y\times T{ℝ}^k)$. Die Abbildung $j_{!}^{-1}{i}_{!}:K(TZ)\to K(Y)$ ist der topologische Index.

Aussage des Familien-Indexsatzes

Der Familien-Indexsatz besagt, dass für eine Familie elliptischer Operatoren $P_y,y\in Y$ über einem kompakten Raum $Y$ der analytische und topologische Index übereinstimmen.

Die kohomologische Version des Familien-Indexsatzes besagt

$ch(ind(P))=(-1{)}^n{\pi }_{*}(ch(u)\cdot 𝒯(Z))$,

wobei ${\pi }_{*}:H^{*}(TZ)\to H^{*}(Y)$ der Gysin-Homomorphismus ist, $u\in K(TZ)$ die Klasse des Symbols von $P$, $𝒯(Z)$ die Todd-Klasse der Komplexifizierung von $Z$, und $n=dim(X)$. Anders als beim Atiyah-Singer-Indexsatz ist die kohomologische Version hier nicht äquivalent, sondern schwächer als der Familien-Indexsatz, da der Chern-Charakter $ch:K(Y)\to H^{*}(Y,\mathbb{Q})$ nicht injektiv sein muss.

Literatur

• J.-M. Bismut: The index theorem for families of Dirac operators: two heat equation proofs. Invent. Math. 83, 91–151, 1986
• Kapitel 10 in N. Berline, E. Getzler, M. Vergne: Heat Kernels and Dirac Operators. Paperback Ed., Grundlehren Text Editions. Berlin: Springer, 2004