Satz von Roussarie-Thurston

In der Differentialtopologie ist der Satz von Roussarie-Thurston ein Lehrsatz aus der Theorie der Blätterungen.

Der Satz stammt von Robert Roussarie und William Thurston.

Aussage

Sei $ℱ$ eine straffe Blätterung einer 3-Mannigfaltigkeit $M$ und $S\subset M$ eine inkompressible Fläche. Dann gibt es eine Isotopie, nach der das Bild von $S$ entweder in einem Blatt von $ℱ$ liegt oder die tangentialen Berührpunkte mit Blättern von $ℱ$ Sattelpunkte sind.

Anwendungen

Nach der durch den Satz von Roussarie-Thurston gegebenen Isotopie in eine Fläche mit Sattelsingularitäten sei $I_p$ und $I_n$ die Anzahl der positiven und negativen Sattelsingularitäten. Dann gelten für die Euler-Charakteristik $\chi (S)$ der Fläche und die Euler-Klasse $e(Tℱ)$ des Tangentialbündels der Blätterung die Gleichungen

$I_p+I_n=-\chi (S)$,

$I_n-I_p=e(Tℱ)\cap \left[S\right]$.

Insbesondere folgt

$|e(Tℱ)\cap \left[S\right]|\le \Vert \left[S\right]\Vert$,

wobei $\Vert \left[S\right]\Vert$ die Thurston-Norm der Homologieklasse von $S$ bezeichnet.

Für die duale Thurston-Norm der Euler-Klasse einer straffen Blätterung gilt also stets $\Vert e(Tℱ)\Vert \le 1$.

Literatur

• Kapitel 9.5 in A. Candel, L. Conlon: Foliations. II, Graduate Studies in Mathematics 60. Providence, RI: American Mathematical Society (2003)
• Kapitel 5.3 in D. Calegari: Foliations and the geometry of 3-manifolds, Oxford Mathematical Monographs; Oxford Science Publications. Oxford: Oxford University Press (2007)