Inkompressible Fläche

In der Mathematik sind inkompressible Flächen ein wichtiges Hilfsmittel der 3-dimensionalen Topologie. Durch Aufschneiden entlang inkompressibler Flächen können 3-dimensionale Mannigfaltigkeiten in einfachere Stücke zerlegt werden.

Definition

Sei $(M,\partial M)$ eine 3-dimensionale Mannigfaltigkeit mit (evtl. leerem) Rand und $(F,\partial F)\subset (M,\partial M)$ eine 2-dimensionale Untermannigfaltigkeit, d. h. eine eigentlich eingebettete Fläche.

Inkompressible Fläche

Eine Kompressionsscheibe für $F$ ist eine eingebettete Kreisscheibe

$(D^2,\partial D^2)\subset (M,F)$,

so dass $F\cap D^2=\partial D^2$ in $F$ nicht homotop zu einer konstanten Abbildung ist.

Die Fläche $F$ heißt inkompressibel wenn

• $F=S^2,D^2,ℝP^2$ und es keine Kompressionsscheibe für $F$ gibt, oder
• $F=D^2$ und $\partial F$ ist in $\partial M$ nicht homotop zu einer konstanten Abbildung.

Rand-inkompressible Fläche

Eine Rand-Kompressionsscheibe für $F$ ist ein eingebettetes Tripel $(D^2,A,B)\subset (M,\partial M,F)$ mit $A\cup B=\partial D^2,D^2\cap F=B$, so dass $D^2$ nicht (rel. $\partial D^2$) isotop zu einer Einbettung mit Bild in $\partial M\cup F$ ist, deren Bild $\partial M$ und $F$ jeweils in Kreisscheiben schneidet.

Die Fläche $F$ heißt $\partial$-inkompressibel wenn es keine Rand-Kompressionsscheibe für $F$ gibt.

Bei Mannigfaltigkeiten mit nichtleerem Rand wird häufig auch von inkompressiblen Flächen gesprochen, wenn Flächen gemeint sind, die im Sinne obiger Definitionen inkompressibel und rand-inkompressibel sind.

Fundamentalgruppe

Wenn $F$ eine inkompressible Fläche in $M$ ist, dann ist der von der Inklusion $i:F\to M$ induzierte Homomorphismus der Fundamentalgruppen

$i_{*}:{\pi }_{1}F\to {\pi }_{1}M$

injektiv. Für zweiseitige Flächen gilt auch die Umkehrung: eine zusammenhängende zweiseitige Fläche ist inkompressibel genau dann, wenn sie ${\pi }_1$-injektiv ist.

Existenz

Wenn $M$ eine kompakte irreduzible 3-Mannigfaltigkeit ist, dann gibt es zu jeder Homologieklasse

$z\in H_2(M,\partial M;\mathbb{Z})$

eine (orientierbare, evtl. unzusammenhängende) inkompressible und $\partial$-inkompressible Fläche $F\subset M$, so dass

$i_{*}[F,\partial F]=z$.

Hierbei bezeichnet $i:(F,\partial F)\to (M,\partial M)$ die Inklusion und $[F,\partial F]\in H_2(F,\partial F;\mathbb{Z})$ die Fundamentalklasse von $F$.

Satz von Haken

Der Satz von Haken besagt, dass Aufschneiden einer 3-Mannigfaltigkeit entlang einer inkompressiblen, rand-inkompressiblen Fläche die Haken-Komplexität der 3-Mannigfaltigkeit verringert. Dies wird in der 3-dimensionalen Topologie häufig benutzt, um Beweise mittels Induktion nach der Haken-Komplexität zu führen.

Minimalflächen

Nach einem Satz von Freedman, Hass und Scott ist jede inkompressible Fläche (in einer kompakten 3-Mannigfaltigkeit) isotop zu einer Minimalfläche vom Index 0.

Siehe auch

• Haken-Mannigfaltigkeit

Literatur

• William Jaco: Lectures on three-manifold topology. CBMS Regional Conference Series in Mathematics, 43. American Mathematical Society, Providence, R.I., 1980. ISBN 0-8218-1693-4