Fluss eines Vektorfeldes

In der Mathematik beschreibt der Fluss eines Vektorfeldes die Bewegung entlang der Lösungskurven der durch das Vektorfeld gegebenen gewöhnlichen Differentialgleichung.

Definition

Sei $F$ ein $C^1$-Vektorfeld auf einer offenen Teilmenge $U\subset {ℝ}^n$ (oder allgemeiner auf einer offenen Teilmenge einer Mannigfaltigkeit). Nach dem Existenz- und Eindeutigkeitssatz für gewöhnliche Differentialgleichungen gibt es für jedes $x_0\in U$ eine eindeutige maximale Lösung

$x:(a(x_0),b(x_0))\to U$

der Differentialgleichung

$\dot{x}(t)=F(x(t)),x(0)=x_0$.

Hierbei ist $(a(x_0),b(x_0))$ das (eventuell unendliche) maximale Intervall, auf dem eine Lösung definiert ist. Wir bezeichnen diese vom Startwert $x_0$ abhängende Kurve mit ${\gamma }_{x_0}$.

Sei ${\mathrm{\Sigma }}_F=\{(t,x)\in ℝ\times U:a(x)<t<b(x)\}$. Dann heißt die durch

$\mathrm{\Phi }(t,x):={\gamma }_x(t)$

gegebene Abbildung $\mathrm{\Phi }:{\mathrm{\Sigma }}_F\to U$ der Fluss des Vektorfeldes $F$.

Eigenschaften

Vektorfeld F(x,y)=(-y,x)

Der Fluss eines Vektorfeldes ist ein Fluss, d. h. eine einparametrige Transformationsgruppe. Es gilt also

$\mathrm{\Phi }(0,x)=x$

und

$\mathrm{\Phi }(s+t,x)=\mathrm{\Phi }(s,\mathrm{\Phi }(t,x))$

für alle $x\in U$.

Beispiel

Der Fluss des auf dem ${ℝ}^2$ definierten Vektorfeldes

$F(x,y)=(-y,x)$

ist gegeben durch

$\mathrm{\Phi }(t,(x,y))=(\cos (t)x+\sin (t)y,-\sin (t)x+\cos (t)y)$.

Vollständige Vektorfelder

Das Vektorfeld $F$ heißt ein vollständiges Vektorfeld, wenn sein Fluss für alle Zeiten definiert, also

$a(x_0)=-\mathrm{\infty },b(x_0)=\mathrm{\infty }$

für alle $x_0\in U$, oder äquivalent ${\mathrm{\Sigma }}_F=ℝ\times U$ ist.

Vektorfelder mit kompaktem Träger sind stets vollständig. Dies gilt insbesondere für Vektorfelder auf kompakten Mannigfaltigkeiten.

Literatur

• John Lee: „Introduction to smooth manifolds“, Graduate Texts in Mathematics, Springer, ISBN 978-0-387-21752-9
• Vladimir Arnold: „Ordinary differential equations“, Universitext, Springer, ISBN 978-3-540-34563-3

Weblinks

• Flow of a Vectorfield (nLab)