Hilbert-Schema

In der algebraischen Geometrie parametrisiert das Hilbert-Schema die Unterschemata des projektiven Raums.

Hilbert-Funktor

Für ein Polynom $P$ ordnet der Hilbert-Funktor

$h_P:{𝐒𝐜𝐡𝐞𝐦𝐞𝐬}^{\mathrm{o}\mathrm{p}}\to 𝐒𝐞𝐭𝐬$

jedem Schema $B$ die Menge der über $B$ flachen Unterschemata $𝒳\subset P_B^n$, deren Fasern über Punkten aus $B$ Hilbert-Polynom $P$ haben, zu.

Hilbert-Schema

Für ein Polynom $P$ ist das Hilbert-Schema ${\mathscr{H}}_P$ das den Funktor $h_P$ darstellende Schema. $h_P$ ist also der Punktfunktor von ${\mathscr{H}}_P$.

Die Eindeutigkeit von ${\mathscr{H}}_P$ folgt aus dem Lemma von Yoneda, während die Existenz das Ergebnis einer schwierigen Konstruktion ist.

Beispiele

Graßmann-Schemata

Vorlage:Hauptartikel Das Graßmann-Schema $G(d,n)$ parametrisiert die Unterschemata von Grad 1 und Dimension $d$ in $P_S^n$ für $S=\mathbb{Z}[x_0,\dots ,x_n]$. Dies sind aber genau die Schemata, deren Hilbert-Polynom $H_x(m)=\left(\begin{array}{c}m+d\\ d\end{array}\right)$ ist. Das Graßmann-Schema ist also das Hilbert-Schema zu diesem Polynom.

Hilbert-Schema für Hyperflächen

Die Hyperflächen vom Grad $d$ im $P_K^n$ werden parametrisiert durch den projektiven Raum des Vektorraums der homogenen Polynome vom Grad $d$ in $n+1$ Variablen. Dieser projektive Raum ist das Hilbert-Schema der Hyperflächen vom Grad $d$.