Sekundäre charakteristische Klasse

Im mathematischen Gebiet der Differentialtopologie sind sekundäre charakteristische Klassen (wie die Cheeger-Chern-Simons-Klassen) Invarianten flacher Bündel.

Bekanntlich können verschiedene charakteristische Klassen

$c\in H^k(B;\mathbb{Z})$

von $G$-Prinzipalbündeln $E\to B$ mittels der Chern-Weil-Konstruktion durch invariante Polynome $P\in I^k(G)$ realisiert werden, d. h., es gibt ein invariantes Polynom $P$, so dass

$[P(\mathrm{\Omega })]=c_{ℝ}$

für jedes $G$-Prinzipalbündel mit Zusammenhangsform $\omega$, wobei

$\mathrm{\Omega }\in {\mathrm{\Omega }}^2(B)$

die Krümmungsform des Zusammenhangs $\omega$, $[P(\mathrm{\Omega })]$ die De-Rham-Kohomologieklasse von

$P(\mathrm{\Omega })\in {\mathrm{\Omega }}^{2k}(B)$,

und $c_{ℝ}$ das Bild der charakteristischen Klasse $c$ unter dem kanonischen Homomorphismus

$H^k(B;\mathbb{Z})\to H^k(B;ℝ)$

bezeichnet.

Für flache Bündel ist

$\mathrm{\Omega }=0$

und demzufolge verschwinden alle über die Chern-Weil-Konstruktion definierten charakteristischen Klassen, insbesondere Chern-Klassen und Pontrjagin-Klassen.

Die Cheeger-Chern-Simons-Konstruktion definiert nun zu jeder solchen charakteristischen Klasse, genauer zu jedem invarianten Polynom

$P\in I^k(G)$

und jeder Kohomologieklasse

$c\in H^{2k}(B)$

mit $[P(\mathrm{\Omega })]=c_{ℝ}$ einen Differentialcharakter

$\hat{c}\in {\hat{H}}^k(B;ℝ/\mathbb{Z})$.

Die Kohomologiegruppe $H^k(B;ℝ/\mathbb{Z})$ ist eine Untergruppe von ${\hat{H}}^k(B;ℝ/\mathbb{Z})$ und im Fall flacher Bündel liegt $\hat{c}$ in dieser Untergruppe. Die so definierte Kohomologieklasse

$\hat{c}\in H^k(B;ℝ/\mathbb{Z})$

heißt (die zur primären charakteristischen Klasse $c$ assoziierte) sekundäre charakteristische Klasse.

Anwendung des Bockstein-Homomorphismus $H^{2k-1}(B;ℝ/\mathbb{Z})\to H^{2k}(B;\mathbb{Z})$ bildet die sekundäre charakteristische Klasse $\hat{c}$ auf die charakteristische Klasse $c$ ab, deren Bild in $H^{2k}(B;ℝ)$ verschwindet.

Existenz und Eindeutigkeit

Gegeben seien eine Lie-Gruppe $G$, ein invariantes Polynom $P\in I^k(G)$ und eine Kohomologieklasse $u\in H^{2k}(BG)$ mit $w_k(P)=u_{ℝ}$. Wir bezeichnen mit $\delta :{\hat{H}}^{2k-1}(B;ℝ/\mathbb{Z})\to A_0^{2k}(B)$ die Korand-Abbildung und mit $b:{\hat{H}}^{2k-1}(B;ℝ/\mathbb{Z})\to H^{2k}(B;\mathbb{Z})$ den Bockstein-Homomorphismus.

Satz: Für jedes $G$-Prinzipalbündel $p:E\to B$ mit Zusammenhangsform $\omega$ gibt es einen eindeutigen Differentialcharakter

$S_{P,u}(p,\omega )\in {\hat{H}}^{2k-1}(B;ℝ/\mathbb{Z})$

mit

• $\delta S_{P,u}(p,\omega )=P(\mathrm{\Omega })$
• $b{S}_{P,u}(p,\omega )=f^{*}u$,

so dass $S_{P,u}(p,\omega )\in {\hat{H}}^{2k-1}(B;ℝ/\mathbb{Z})$ unter Bündelabbildungen natürlich transformiert.

Cheeger-Chern-Simons-Klassen

Ein Spezialfall ist die Konstruktion von Cheeger-Chern-Simons-Klassen.

Die Chern-Polynome $C_k\in I^k(GL(n,ℂ))$ seien definiert durch die Relation

$\det (\lambda {\mathrm{i}\mathrm{d}}_n-\frac{1}{2\pi i}A)=\sum _{k=0}^n{C}_k(A,\dots ,A){\lambda }^{n-k}$

für alle $A\in GL(n,ℂ)$. Der universelle Chern-Weil-Homomorphismus

$w_k:I^k(G)\to H^{2k}(BG;ℝ)$

bildet invariante Polynome auf Kohomologieklassen des klassifizierenden Raumes $BG$ ab.

Im Fall der Chern-Polynome gibt es die universellen Chern-Klassen $c_k\in H^{2k}(BGL(n,ℂ);\mathbb{Z})$ und für diese gilt

$w_k(C_k)=(c_k{)}_{ℝ}$.

Für ein $GL(n,ℂ)$-Prinzipalbündel $p:E\to B$ gibt es nun eine klassifizierende Abbildung $f:B\to BGL(n,ℂ)$ und die Chern-Klasse von $p:E\to B$ ist $f^{*}{c}_k\in H^{2k}(B;\mathbb{Z})$. Für eine Zusammenhangsform $\omega$ definiert man nun

${\hat{c}}_k(p,\omega ):=S_{C_k,c_k}(p,\omega )\in {\hat{H}}^{2k-1}(B;ℂ/\mathbb{Z})$.

Im Fall flacher Bündel $p:E\to B$ erhält man die Cheeger-Chern-Simons-Klassen

${\hat{c}}_k(p)\in H^{2k-1}(B;ℂ/\mathbb{Z})$.

Falls $B$ eine $(2k-1)$-dimensionale geschlossene orientierbare Mannigfaltigkeit ist, erhält man die Cheeger-Chern-Simons-Invariante

$CCS(p):=⟨{\hat{c}}_k(p),\left[M\right]⟩\in ℂ/\mathbb{Z}$

des flachen Bündels $p:E\to B$ durch Anwenden der Cheeger-Chern-Simons-Klasse auf die Fundamentalklasse $\left[M\right]\in H_{2k-1}(M;\mathbb{Z})$.

Literatur

• Cheeger, Simons: Differential characters and geometric invariants. Geometry and topology (College Park, Md., 1983/84), 50–80, Lecture Notes in Math., 1167, Springer, Berlin, 1985. pdf
• Dupont, Hain, Zucker: Regulators and characteristic classes of flat bundles. The arithmetic and geometry of algebraic cycles (Banff, AB, 1998), 47–92, CRM Proc. Lecture Notes, 24, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2000.

Weblinks

• Kapitel 3.2 in Bucher: Characteristic classes and bounded cohomology