Differentialcharakter

Differentialcharaktere sind ein Begriff aus dem mathematischen Gebiet der Differentialtopologie, der die Kohomologiegruppen verallgemeinert.

Sekundäre charakteristische Klassen, zum Beispiel die Cheeger-Chern-Simons-Klassen von Vektorbündeln, sind Differentialcharaktere. Im Fall flacher Bündel sind diese dann sogar Kohomologieklassen.

ℤ-wertige Differentialcharaktere

Sei $X$ eine glatte Mannigfaltigkeit und $k\ge 1$ eine ganze Zahl. Die Gruppe der $\mathbb{Z}$-wertigen Differentialcharaktere vom Grad $k$ ist

${\hat{H}}^k(X;\mathbb{Z}):=\{h\in \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(Z_{k-1}(X;\mathbb{Z}),\mathbb{Z})\mid h\circ \partial \in {\mathrm{\Omega }}^k(X)\}$.

Hierbei bezeichnet $Z_{k-1}(X;\mathbb{Z})$ die Gruppe der $(k-1)$-Zykel und die Notation $h\circ \partial \in {\mathrm{\Omega }}^k(X)$ meint, dass es eine Differentialform $\omega \in {\mathrm{\Omega }}^k(X)$ gibt, so dass

$h(\partial c)=\exp (2\pi i\underset{c}{\int }\omega )$

für jede glatte Kette $c\in C_k(X;\mathbb{Z})$ gilt.

ℝ/ℤ-wertige Differentialcharaktere

Sei $X$ eine glatte Mannigfaltigkeit und $k\ge 1$ eine ganze Zahl. Die Gruppe der $ℝ/\mathbb{Z}$-wertigen Differentialcharaktere vom Grad $k$ ist

${\hat{H}}^k(X;ℝ/\mathbb{Z}):=\{h\in \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(Z_{k-1}(X;\mathbb{Z}),ℝ/\mathbb{Z})\mid h\circ \partial \in {\mathrm{\Omega }}^k(X)\}$.

Hierbei bezeichnet $Z_{k-1}(X;\mathbb{Z})$ die Gruppe der $(k-1)$-Zykel und die Notation $h\circ \partial \in {\mathrm{\Omega }}^k(X)$ meint, dass es eine Differentialform $\omega \in {\mathrm{\Omega }}^k(X)$ gibt, so dass

$h(\partial c)=\underset{c}{\int }\omega \mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}\mathbb{Z}$

für jede glatte Kette $c\in C_k(X;\mathbb{Z})$ gilt.

Kurze exakte Sequenzen

Korand-Abbildung

Man hat eine kurze exakte Sequenz

$0\to H^k(X;ℝ/\mathbb{Z})\to {\hat{H}}^k(X;ℝ/\mathbb{Z})\to A_0^{k+1}(X)\to 0$.

Hierbei bezeichnet $A_0^{k+1}(X)$ die Gruppe der geschlossenen Differentialformen mit ganzzahligen Perioden und die Abbildung

$\delta :{\hat{H}}^k(X;ℝ/\mathbb{Z})\to A_0^{k+1}(X)$

ordnet jedem $h\in {\hat{H}}^k(X;ℝ/\mathbb{Z})$ die eindeutige Differentialform $\omega \in {\mathrm{\Omega }}^k(X)$ mit $h(\partial c)=\underset{c}{\int }\omega \mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}\mathbb{Z}\mathrm{\forall }c\in C_k^{smooth}(X;\mathbb{Z})$ zu.

Insbesondere kann man $H^k(X;ℝ/\mathbb{Z})$ als Untergruppe von ${\hat{H}}^k(X;ℝ/\mathbb{Z})$ auffassen.

Sekundäre charakteristische Klassen von Vektorbündeln geben Invarianten in ${\hat{H}}^k(X;ℝ/\mathbb{Z})$, die im Fall verschwindender Krümmung sogar in $H^k(X;ℝ/\mathbb{Z})$ liegen.

Bockstein-Homomorphismus

Es gibt einen Homomorphismus

$b:{\hat{H}}^k(X;ℝ/\mathbb{Z})\to H^{k+1}(X;\mathbb{Z})$,

dessen Einschränkung auf $H^k(X;ℝ/\mathbb{Z})$ gerade der Bockstein-Homomorphismus ist. Er passt in eine exakte Sequenz

$0\to A^k(X)/A_0^k(X)\to {\hat{H}}^k(X;ℝ/\mathbb{Z})\to H^{k+1}(X;\mathbb{Z})\to 0$.

Literatur

• Jeff Cheeger, James Simons: Differential characters and geometric invariants. Geometry and topology. In: Lecture Notes in Math. 1167, Springer, Berlin 1985, S. 50–80.
• Christian Bär, Christian Becker: Differential characters. In: Lecture Notes in Mathematics. 2112. Springer, Cham 2014, ISBN 978-3-319-07033-9.