Satz von Olivier

Der Satz von Olivier ist ein mathematischer Lehrsatz der Analysis, welcher auf eine Arbeit des Mathematikers Louis Olivier im zweiten Band des crelleschen Journals aus dem Jahre 1827 zurückgeht. Der Satz gibt eine notwendige Bedingung für die Konvergenz von Reihen, deren Glieder eine monoton fallende Folge positiver reeller Zahlen bilden, und liefert dabei eine Verschärfung des Nullfolgenkriteriums. Als direkte Anwendung des Satzes ergibt sich unter anderem die Divergenz der harmonischen Reihe.

Formulierung

Der Satz von Olivier lässt sich wie folgt formulieren:

Sei $(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ eine monoton fallende Folge nichtnegativer reeller Zahlen und die zugehörige Reihe $a_1+a_2+\dots$ sei konvergent, also

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n<\mathrm{\infty }$.

Dann gilt

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }n\cdot a_n=0$,

das heißt, die Zahlenfolge $(n\cdot a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ ist eine Nullfolge.

Beweis nach Konrad Knopp

Der Ansatz zum Beweis des Satzes von Olivier ergibt sich aus dem Cauchy-Kriterium für Reihen.

Ist nämlich ein beliebiges $\epsilon >0$ vorgegeben, so setzt man zunächst ${\epsilon }_0=\frac{\epsilon }{2}$ und findet dazu eine untere Schranke $N=N({\epsilon }_0)$ , so dass für beliebige $n,p\in \mathbb{N}$ mit $n,p\ge N$ stets die Ungleichung

$a_{p+1}+a_{p+2}+\dots +a_{p+n}<{\epsilon }_0$

gilt.

Damit ist wegen der vorausgesetzten Monotonieeigenschaft der Zahlenfolge zunächst

$n\cdot a_{p+n}<{\epsilon }_0$

und folglich

$2n\cdot a_{p+n}<\epsilon$

gegeben.

Das aber bedeutet insbesondere, dass man für $n\in \mathbb{N}$ mit $n\ge N$ stets

$2n\cdot a_{N+n}<\epsilon$

und damit

$(N+n)\cdot a_{N+n}<\epsilon$

hat.

Als untere Schranke zu $\epsilon$ wählt man nun $N(\epsilon )=2N$  .

Damit ergibt sich nämlich für alle $n\in \mathbb{N}$ mit $n\ge 2N$ wegen $n-N\ge N$ und $n=N+(n-N)$ die Ungleichung

$n\cdot a_n=(N+(n-N))\cdot a_{N+(n-N)}<\epsilon$  .

Folglich ist $(n\cdot a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ eine Nullfolge.

Anmerkung

• Für

$a_n=\frac{1}{n}(n\in \mathbb{N})$

hat man

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }n\cdot a_n=1$  ,

was mit dem Satz von Olivier die Divergenz der harmonischen Reihe impliziert.

• Anhand der abelschen Reihe, welche

$a_n=\frac{1}{n\cdot \ln (n)}(n\in \mathbb{N},n\ge 2)$

als allgemeines Glied hat, sieht man, dass der Satz von Olivier lediglich eine notwendige, jedoch keine hinreichende Bedingung formuliert. Denn der abelschen Reihe liegt zwar eine monoton fallende Gliederfolge zugrunde und dabei ist

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }n\cdot a_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{\ln (n)}=0$  ,

aber dennoch folgt mit dem Verdichtungskriterium von Cauchy

$\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n\cdot \ln (n)}=\mathrm{\infty }$

Literatur

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