Hopf-Verschlingung

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Hopf-Verschlingung

In der Knotentheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, ist die Hopf-Verschlingung (auch Hopf-Link) das einfachste Beispiel einer Verschlingung zweier Kreise.

Hopf-Verschlingung

Die Hopf-Verschlingung ist eine Verschlingung bestehend aus zwei Unknoten (d. h. unverknoteten Kreisen), deren Verschlingungszahl (je nach Orientierung) plus oder minus 1 beträgt.

Ein konkretes Modell sind zum Beispiel die im ${ℝ}^3$ durch $(\cos t,\sin t,0)$ und $(\cos t+1,0,\sin t)$ parametrisierten Kreise.

Topologie des Komplements

Das Komplement der Hopf-Verschlingung in der 3-Sphäre $S^3$ ist homöomorph zu $S^1\times S^1\times (0,1)$. Die Linkgruppe, also die Fundamentalgruppe des Komplements, ist isomorph zu $\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}$, der freien abelschen Gruppe mit zwei Erzeugern.

Invarianten

Das Jones-Polynom ist

$V(t)=-t-t^{-1}$,

das HOMFLY-Polynom ist

$P(z,\alpha )=z^{-1}({\alpha }^{-1}-{\alpha }^{-3})-z{\alpha }^{-1}$,

die Hopf-Verschlingung ist der $(2,2)$-Torus-Link und sie ist der Abschluss des Zopfes ${\sigma }_1^2$.

Hopf-Faserung und Homotopiegruppen, Hopf-Invariante

Heinz Hopf untersuchte 1931 die Hopf-Faserung

$h:S^3\to S^2$

und stellte fest, dass je zwei Fasern eine Hopf-Verschlingung bilden.

Allgemein definierte er für Abbildungen $f:S^3\to S^2$ die heute als Hopf-Invariante bezeichnete Invariante $H(f)\in \mathbb{Z}$ als Verschlingungszahl der Urbilder zweier regulärer Werte von $f$ und er bewies, dass die Zuordnung

Shingon-shu Buzan-ha crest

$f\to H(f)$

einen Isomorphismus

${\pi }_3(S^2)\to \mathbb{Z}$

ergibt.

Vorkommen in Kunst, Wissenschaft und Philosophie

Catenane

• Die Hopf-Verschlingung wird von der dem Shingon-shū zuzuordnenden buddhistischen Sekte Buzan-ha als Symbol verwendet.
• Catenane stellen eine Hopf-Verschlingung dar.
• Die Hopf-Verschlingung kommt in zahlreichen Skulpturen des japanischen Künstlers Keizo Ushio vor.

Literatur

• Heinz Hopf: Über die Abbildungen der dreidimensionalen Sphäre auf die Kugelfläche. Math. Ann. 104 (1931), 637–665 (PDF)
• Colin Adams: Das Knotenbuch. Spektrum Akademischer Verlag (1995). ISBN 978-3860253380

Weblinks

• Hopf Link auf MathWorld
• Topology of a Twisted Torus Numberphile (Video)