Euler-Klasse

In der Mathematik, genauer in der algebraischen Topologie und in der Differentialgeometrie und -topologie, ist die Euler-Klasse ein spezieller Typ von charakteristischen Klassen, die orientierbaren reellen Vektorbündeln zugeordnet wird. Sie wird nach Leonhard Euler benannt, weil sie im Fall des Tangentialbündels einer Mannigfaltigkeit deren Euler-Charakteristik bestimmt.

Sie kann auf unterschiedliche (äquivalente) Weisen definiert werden: als Hindernis für die Existenz eines Schnittes ohne Nullstellen, als Pull-Back der Orientierungsklasse unter einem Schnitt oder als Bild der Pfaffschen Determinante unter dem Chern-Weil-Isomorphismus. Im Fall flacher Bündel gibt es weitere äquivalente Definitionen.

Grundidee und Motivation

Die Euler-Klasse ist eine charakteristische Klasse, also eine topologische Invariante von orientierten Vektorbündeln: zwei isomorphe orientierte Vektorbündel haben dieselben Euler-Klassen. Im Falle differenzierbarer Mannigfaltigkeiten bestimmt die Euler-Klasse des Tangentialbündels die Euler-Charakteristik der Mannigfaltigkeit.

Die Euler-Klasse liefert ein Hindernis für die Existenz eines Schnittes ohne Nullstellen. Insbesondere liefert die Euler-Charakteristik einer geschlossenen, orientierbaren, differenzierbaren Mannigfaltigkeit ein Hindernis für die Existenz eines Vektorfeldes ohne Singularitäten.

Für einen auf einer Teilmenge des Basis-Raumes definierten nullstellenfreien Schnitt kann man eine relative Euler-Klasse definieren, diese liefert ein Hindernis für die Fortsetzbarkeit des Schnittes ohne Nullstellen auf die gesamte Basis.

Axiome

Die (relative) Euler-Klasse wird durch folgende Axiome festgelegt.

Jedem orientierten, $n$-dimensionalen reellen Vektorbündel $E\to X$ mit einem nirgendwo verschwindenden Schnitt $s:Y\to E$ auf einer (möglicherweise leeren) Teilmenge $Y\subset X$ wird ein Element

$e(E,s)\in H^n(X,Y;\mathbb{Z})$

(bzw. $e(E)\in H^n(X;\mathbb{Z})$ falls $Y=\mathrm{\varnothing }$) zugeordnet, so dass

• für jede stetige Abbildung $f:(X^{\prime },Y^{\prime })\to (X,Y)$ gilt $e(f^{*}E,f^{*}s)=f^{*}(e(E,s))$
• $e(E_1\oplus E_2,s\oplus 0)=e(E_1,s)\cup e(E_2)$
• für das tautologische komplexe Geradenbündel ${\gamma }^1\to ℂP^1$, aufgefasst als 2-dimensionales reelles Vektorbündel, ist $e({\gamma }^1)\in H^2(ℂP^1;\mathbb{Z})$ ein Erzeuger von $H^2(ℂP^1;\mathbb{Z})\simeq \mathbb{Z}$.

$e(E)\in H^n(X;\mathbb{Z})$ heißt die Euler-Klasse des Bündels $E$, $e(E,s)\in H^n(X,Y;\mathbb{Z})$ heißt die relative Euler-Klasse relativ zum Schnitt $s$.

Definition als Obstruktionsklasse

Für ein $n$-dimensionales orientiertes Vektorbündel $E\to |K|$ über der geometrischen Realisierung $|K|$ eines Simplizialkomplexes $K$ erhält man mittels Obstruktionstheorie die Obstruktionsklasse

$o_n(E)\in H^n(K;{\pi }_{n-1}(V_1({ℝ}^n))$

für die Fortsetzung eines Schnittes im assoziierten Vektorbündel auf das $n$-Skelett von $K$.

Die Koeffizientengruppe

${\pi }_{n-1}(V_1({ℝ}^n))\simeq {\pi }_{n-1}({ℝ}^n-0)\simeq H_{n-1}({ℝ}^n-0;\mathbb{Z})\simeq H_n({ℝ}^n,{ℝ}^n-0;\mathbb{Z})$

ist (durch die Orientierung) kanonisch isomorph zu $\mathbb{Z}$ und dieser Isomorphismus bildet $o_n(E)$ auf die Euler-Klasse $e(E)\in H^n(K;\mathbb{Z})$ ab.

Definition mittels Orientierungsklasse

Für ein orientiertes $n$-dimensionales Vektorbündel $p:E\to M$ und $E_0\subset E$ das Komplement des Null-Schnitts betrachten wir das Bild $u{\mid }_E$ der Orientierungsklasse (Thom-Klasse)

$u\in H^n(E,E_0;\mathbb{Z})$

in $H^n(E;\mathbb{Z})$. Weil ${ℝ}^n$ kontrahierbar ist, ist $p:E\to M$ eine Homotopieäquivalenz und

$p^{*}:H^{*}(M;\mathbb{Z})\to H^{*}(E;\mathbb{Z})$

ein Isomorphismus. Die Euler-Klasse ist definiert durch

$e(E):=(p^{*}{)}^{-1}u{\mid }_E\in H^n(M;\mathbb{Z})$.

Äquivalent kann man $e(E)$ durch

$e(E):=s^{*}u{\mid }_E$

für einen beliebigen Schnitt (zum Beispiel den Nullschnitt) $s:M\to E$ definieren.

Falls $E\to M$ einen Schnitt ohne Nullstellen hat, also $s(M)\subset E_0$ gilt, folgt daraus $e(E)=0$.

Relative Euler-Klasse: Falls ein Schnitt ohne Nullstellen $s_0:Y\to E$ auf einer Teilmenge $Y\subset M$ gegeben ist, dann kann man ihn zu einem Schnitt (evtl. mit Nullstellen) $s:(M,Y)\to (E,E_0)$ fortsetzen und definiert dann

$e(E,s_0):=s^{*}u\in H^n(M,Y;\mathbb{Z})$.

Definition über Chern-Weil-Theorie

Wir betrachten Vektorbündel über einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit $M$. Die Konstruktion mittels Chern-Weil-Theorie liefert (nur) das Bild der Euler-Klasse in $H^{*}(M;ℝ)$ bzw. der relativen Euler-Klasse in $H^{*}(M,Y;ℝ)$, insbesondere liefert sie die Nullklasse für Vektorbündel ungerader Dimension.

Für ein orientiertes Vektorbündel der Dimension $n=2k$ betrachtet man das assoziierte $SO(2k)$-Prinzipalbündel (das Rahmenbündel) $P\to M$.

Für ein $SO(2k)$-Prinzipalbündel $P\to M$ mit einer Zusammenhangsform $\omega \in {\mathrm{\Omega }}^1(P,so(2k))$ ist die Euler-Klasse $e(P)\in H_{dR}^{2k}(M)\simeq H^{2k}(M;ℝ)$ das Bild der durch

$Pf(A,\dots ,A)=\frac{1}{2^{k}k!}\sum _{\sigma \in S_{2k}}sign(\sigma )a_{\sigma (1)\sigma (2)}\dots a_{\sigma (2k-1)\sigma (2k)}$

definierten Pfaffschen Determinante $Pf\in I^n(so(2k))$ unter dem Chern-Weil-Homomorphismus

$I^k(so(2k))\to H_{dR}^{2k}(M)$,

also die von der mit Hilfe der Krümmungsform $\mathrm{\Omega }\in {\mathrm{\Omega }}^2(M)$ des Prinzipalbündels definierten Differentialform

$\frac{1}{2^k{\pi }^{2k}}Pf(\mathrm{\Omega })(X_1,\dots ,X_{2k}):=\frac{1}{(2\pi {)}^{2k}}\frac{1}{(k)!}\sum _{\sigma \in {𝔖}_{2k}}\mathrm{sign}(\sigma )Pf(\mathrm{\Omega }(X_{\sigma (1)},X_{\sigma (2)}),\dots ,\mathrm{\Omega }(X_{\sigma (2k-1)},X_{\sigma (2k)}))$

repräsentierte De-Rham-Kohomologie-Klasse. Man kann zeigen, dass die Euler-Klasse nicht von der Wahl der Zusammenhangsform $\mathrm{\Omega }$ abhängt und dass sie im Bild von $H^{2k}(M;\mathbb{Z})$ liegt.

Die Übereinstimmung der so definierten Euler-Klasse mit der oben topologisch definierten ist der Inhalt des 1943 von Allendoerfer und Weil (und mit einem intrinsischen Beweis 1944 von Chern) bewiesenen verallgemeinerten Satzes von Gauß-Bonnet.

Relative Euler-Klasse: Es sei $s:Y\to E$ ein Schnitt ohne Nullstellen über einer Untermannigfaltigkeit $Y\subset M$. (Wir nehmen an, dass sich der Schnitt auf eine offene Umgebung von $Y$ fortsetzen lässt.) Dann gibt es eine Zusammenhangsform $\omega$, deren Krümmungsform $Pf(\mathrm{\Omega }){\mid }_Y\equiv 0$ erfüllt. Insbesondere definiert $Pf(\mathrm{\Omega })$ eine relative Kohomologieklasse $e(E,s)\in H^{2k}(M,Y;\mathbb{Z})$.

Euler-Klasse von SL(n,R)-Prinzipalbündeln

Unter den Isomorphismen

$I^k(so(2k))\simeq H^{2k}(BSO(2k))\simeq H^{2k}(BSL(2k,ℝ))$

entspricht die Pfaffsche Determinante einer Kohomologieklasse $e({\gamma }^{2k})$ in der Kohomologie des klassifizierenden Raumes $BSL(2k,ℝ)$, der Euler-Klasse des universellen Bündels ${\gamma }^{2k}\to BSL(2k,ℝ)$. Zu jedem $SL(2k,ℝ)$-Bündel $P\to M$ kann man also mittels der klassifizierenden Abbildung $f:M\to BSL(2k,ℝ)$ die Euler-Klasse

$e(P):=f^{*}(e({\gamma }^{2k}))\in H^{2k}(M)$

definieren. Diese stimmt mit der Euler-Klasse des assoziierten Vektorbündels überein.

Euler-Klasse von Sphärenbündeln

Die Euler-Klasse kann für beliebige Sphärenbündel definiert werden.

Im Fall des Einheitssphärenbündels eines Riemannschen Vektorbündels erhält man die oben definierte Euler-Klasse des Vektorbündels.

Eigenschaften

• Der kanonische Homomorphismus $H^n(X;\mathbb{Z})\to H^n(X;\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$ bildet die Euler-Klasse auf die n-te Stiefel-Whitney-Klasse $w_n\in H^n(X;\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$ ab.
• Das Cup-Produkt $e(E)\cup e(E)$ ist die höchste Pontrjagin-Klasse $p_n\in H^{2n}(X;\mathbb{Z})$.
• Für geschlossene, orientierbare, differenzierbare Mannigfaltigkeiten $M$ mit Tangentialbündel $TM$ und Fundamentalklasse $\left[M\right]$ ist $⟨e(TM),\left[M\right]⟩=\chi (M)$ die Euler-Charakteristik von $M$.
• Es sei $\bar{E}$ das Vektorbündel $E$ mit der umgekehrten Orientierung, dann ist $e(\bar{E})=-e(E)$.
• Insbesondere gilt für Vektorbūndel ungerader Dimension $2e(E)=0$. Für geschlossene, orientierbare, differenzierbare Mannigfaltigkeiten ungerader Dimension verschwindet die Euler-Charakteristik.
• Für die Whitney-Summe und das kartesische Produkt von Vektorbündeln gilt

  $e(E_1\oplus E_2)=e(E_1)\cup e(E_2),e(E_1\times E_2)=e(E_1)\times e(E_2),$
  wobei $\cup$ das Cup-Produkt und $\times$ das Kreuzprodukt bezeichnet.

• Für einen generischen Schnitt $s:M\to E$ eines $n$-dimensionalen orientierten Vektorbündels über einer $m$-dimensionalen geschlossenen orientierbaren Mannigfaltigkeit $M$ ist das Bild der Fundamentalklasse $\left[Z\right]$ der Nullstellenmenge $Z=\{x\in X:s(x)=0\}$ in $H_{m-n}(M;\mathbb{Z})$ das Poincaré-Dual von $e(E)\in H^n(M;\mathbb{Z})$. Im Fall des Tangentialbündels $E=TM$ ergibt sich daraus der Satz von Poincaré-Hopf.
• Wenn $N_Y$ das Normalenbündel einer geschlossenen orientierbaren Untermannigfaltigkeit $Y\subset M$ ist, dann ist $<e(N_Y),\left[Y\right]>$ die Selbstschnittzahl von $Y$.
• Wenn $s:X\to E$ ein Schnitt ohne Nullstellen ist, dann ist $e(E,s{|}_Y)=0\in H^n(X,Y;\mathbb{Z})$ für alle $Y\subset X$.
• Gysin-Sequenz: Für ein $n$-dimensionales orientiertes Vektorbündel $E\to B$ (mit $E_0\subset E$ die Menge der von Null verschiedenen Vektoren) vermittelt das Cup-Produkt mit der Euler-Klasse eine exakte Sequenz
  $\dots \to H^i(B;\mathbb{Z})\to H^{i+n}(B)\to H^{i+n}(E_0)\to H^{i+1}(B)\to \dots$,
  wobei die anderen beiden Abbildungen $\pi {|}_{E_0}^{*}$ und die Integration entlang der Faser sind.

Euler-Klasse flacher Bündel

Simpliziale Definition

Es sei $p:E\to |K|$ ein flaches Vektorbündel über der geometrischen Realisierung $|K|$ eines Simplizialkomplexes $K$ mit $0$-Simplizes $v_1,\dots ,v_n$.. Weil Simplizes kontrahierbar sind, ist das Bündel trivial über jedem Simplex. Zu beliebig gewählten $s(v_i)\in p^{-1}(v_i)$ kann man also durch affine Fortsetzung einen Schnitt $s:|K|\to E$ konstruieren. Für generische $s(v_i)$ hat dieser Schnitt keine Nullstellen auf dem $(n-1)$-Skelett, höchstens eine Nullstelle pro $n$-Simplex und ist transversal zum Nullschnitt. Dann definieren wir einen simplizialen $n$-Kozykel $ℰ$ durch

$ℰ(\sigma )=0$ falls $s{|}_{\sigma }$ keine Nullstelle hat

$ℰ(\sigma )=1$ falls $s(p)=0$ für ein $p\in \sigma$ und falls für eine positive Basis $t_1,\dots ,t_n$ von $T_{p}K$ auch $t_1,\dots ,t_n,d_{p}s(t_1),\dots ,d_{p}s(t_n)$ eine positive Basis von $T_{s(p)}E$ ist

$ℰ(\sigma )=-1$ andernfalls.

Man kann zeigen, dass $ℰ$ ein Kozykel ist und sein Wert auf Zykeln nicht vom gewählten Schnitt abhängt. Die von $ℰ$ repräsentierte Kohomologieklasse ist die Euler-Klasse $e\in H^n(K;\mathbb{Z})$ des flachen Bündels.

Flache SL(2,R)-Bündel

Wegen ${\pi }_{1}SL(2,ℝ)\simeq \mathbb{Z}$ hat man die universelle Überlagerung

$\mathbb{Z}\to \widetilde{SL(2,ℝ)}\to SL(2,ℝ)$,

diese ist eine zentrale Erweiterung und wird deshalb durch eine Kohomologieklasse $E\in H^2(BSL(2,ℝ{)}^{\delta };\mathbb{Z})$ repräsentiert. Diese ist die universelle Euler-Klasse für flache $SL(2,ℝ)$-Bündel, d. h. für ein flaches Bündel $P\to M$ mit Holonomie-Darstellung $\rho :{\pi }_{1}M\to SL(2,ℝ)$ erhält man

$e(P)=f^{*}(B\rho {)}^{*}(E)\in H^2(M;\mathbb{Z})$,

wobei $f:M\to B{\pi }_{1}M$ die klassifizierende Abbildung der universellen Überlagerung ist.

Flache Kreisbündel

Es bezeichne $Home{o}^{+}(S^1)$ die Gruppe der orientierungserhaltenden Homöomorphismen des Kreises. Ihre universelle Überlagerung ist $\widetilde{Home{o}^{+}(S^1)}=\{f:ℝ\to ℝ:f(x+1)=f(x)+1\mathrm{\forall }x\in ℝ\}$. Die ganzen Zahlen wirken durch Translationen auf $ℝ$ und man erhält eine exakte Sequenz

$\mathbb{Z}\to \widetilde{Home{o}^{+}(S^1)}\to Home{o}^{+}(S^1)$.

Die zugehörige Gruppenkohomologie-Klasse $E\in H^2(Home{o}^{+}(S^1);\mathbb{Z})$ ist die universelle Euler-Klasse für flache $Home{o}^{+}(S^1)$-Bündel.

Eine explizite Formel wurde von Jekel angegeben: die universelle Euler-Klasse $E_{ℝ}\in H^2(Home{o}^{+}(S^1);ℝ)$ wird durch den sogenannten Orientierungs-Kozykel $o\in C^2(Home{o}^{+}(S^1;ℝ)$ repräsentiert:

$o(g_0,g_1,g_2)=\frac{1}{2}$ falls $g_0(1),g_1(1),g_2(1)$ im Uhrzeigersinn auf dem Kreis angeordnet sind

$o(g_0,g_1,g_2)=0$ falls mindestens zwei der Werte $g_0(1),g_1(1),g_2(1)$ übereinstimmen

$o(g_0,g_1,g_2)=-\frac{1}{2}$ falls $g_0(1),g_1(1),g_2(1)$ entgegen dem Uhrzeigersinn auf dem Kreis angeordnet sind.

Der Orientierungs-Kozykel repräsentiert dann auch für alle Untergruppen $G\subset Home{o}^{+}(S^1)$ die universelle Euler-Klasse für flache $G$-Bündel. Dies gilt insbesondere für flache $PSL(2,ℝ)$-Bündel: man verwende die Wirkung von $PSL(2,ℝ)$ auf $S^1=P^1ℝ$ durch gebrochen-lineare Transformationen.

Literatur

• John W. Milnor, James D. Stasheff: Characteristic classes. In: Annals of Mathematics Studies, No. 76. Princeton University Press, Princeton NJ; University of Tokyo Press, Tokyo 1974. (Kapitel 9)
• Johan L. Dupont: Curvature and characteristic classes. In: Lecture Notes in Mathematics, Vol. 640. Springer-Verlag, Berlin / New York 1978, ISBN 3-540-08663-3
• Raoul Bott, Loring W. Tu: Differential forms in algebraic topology. In: Graduate Texts in Mathematics, 82. Springer-Verlag, New York / Berlin 1982, ISBN 0-387-90613-4 (Kapitel 11)
• Riccardo Benedetti, Carlo Petronio: Lectures on hyperbolic geometry. Universitext. Springer-Verlag, Berlin 1992, ISBN 3-540-55534-X (Kapitel F.4)
• Tammo tom Dieck: Algebraic topology. EMS Textbooks in Mathematics. European Mathematical Society (EMS), Zürich 2008, ISBN 978-3-03719-048-7 (Kapitel XI)
• Alberto Candel, Lawrence Conlon: Foliations. II. In: Graduate Studies in Mathematics, 60. American Mathematical Society, Providence RI 2003, ISBN 0-8218-0881-8 (Kapitel 4)

Weblinks

• Vladimir Sharafutdinov: Relative Euler class and the Gauß-Bonnet theorem (PDF)
• Michelle Bucher-Karlsson: Characteristic classes and bounded cohomology. (PDF; Kapitel 3.1)
• Yin Li: The Gauss-Bonnet-Chern Theorem on Riemannian Manifolds. Vorlage:ArXiv