Hyperkonvexe Kurve

In der Mathematik sind hyperkonvexe Kurven gewisse Kurven im projektiven Raum, die unter anderem in der Darstellungstheorie von Flächengruppen von Bedeutung sind.

Hyperkonvexe Kurven im projektiven Raum

Sei $n\in \mathbb{N}$. Der projektive Raum $ℝP^{n-1}=P({ℝ}^n)$ ist der Raum aller 1-dimensionalen Unterräume des ${ℝ}^n$. Eine geschlossene Kurve

$\gamma :S^1\to P({ℝ}^n)$

heißt hyperkonvex, wenn für jedes $n$-Tupel $(x_1,\dots ,x_n)$ paarweise unterschiedlicher Punkte gilt:

${ℝ}^n=\gamma (x_1)\oplus \dots \oplus \gamma (x_n)$,

mit anderen Worten: wenn kein $\gamma (x_i)$ in der linearen Hülle der $\gamma (x_j),j=i$ enthalten ist.

Frenet-Kurven

Eine hyperkonvexe Kurve $\gamma :S^1\to P({ℝ}^n)$ heißt Frenet-Kurve, wenn es eine Familie $({\gamma }^1,\dots ,{\gamma }^{n-1})$ von Abbildungen

${\gamma }^p:S^1\to Gr(p,n)$

in die Grassmann-Mannigfaltigkeit $Gr(p,n)$ gibt, so dass

• ${\gamma }^1=\gamma$
• für $l_1+\dots +l_r\le n$ und alle $r$-Tupel $(x_1,\dots ,x_r)$ paarweise unterschiedlicher Punkte ist ${\gamma }^{l_1}(x_1)+\dots +{\gamma }^{l_r}(x_r)$ eine direkte Summe
• für $l_1+\dots +l_r\le n$ und für jede gegen $(x,\dots ,x)$ konvergierende Folge $(X_i{)}_{i\in N}$ von r-Tupeln paarweise unterschiedlicher Punkte $X_i=(x_{1,i},\dots ,x_{r,i})$ ist $\underset{i\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{s=1}{\overset{r}{⨁}}{\gamma }^{l_s}(x_{s,i})={\gamma }^{l_1+\dots +l_r}(x)$.

Man beachte, dass die ${\gamma }^p$ durch $\gamma$ eindeutig bestimmt sind. Falls $\gamma :S^1\to {ℝ}^n$ beliebig oft differenzierbar ist, dann ist ${\gamma }^p(x)$ der von $\gamma (x),{\gamma }^{\prime }(x),{\gamma }^{\prime \prime }(x),\dots ,{\gamma }^{(p-1)}(x)$ aufgespannte Unterraum, der Begriff stimmt also mit dem in der Differentialgeometrie gebräuchlichen Begriff einer Frenet-Kurve überein.

Hitchin-Komponente

Die Hitchin-Komponente ist eine Zusammenhangskomponente der Darstellungsvarietät einer Flächengruppe ${\pi }_{1}S$ in $PSL(n,ℝ)$, siehe Höhere Teichmüller-Theorie, die von Hitchin ursprünglich mit Hilfe von Higgs-Bündeln beschrieben wurde. Einer geometrischen Untersuchung zugänglich wird die Hitchin-Komponente durch folgenden Satz von Labourie:

Wenn eine Darstellung $\rho :{\pi }_{1}S\to PSL(n,ℝ)$ einer Flächengruppe zur Hitchin-Komponente gehört, dann gibt es eine hyperkonvexe Frenet-Kurve

$\gamma :S^1={\partial }_{\mathrm{\infty }}{\pi }_{1}S\to P({ℝ}^n)$,

die $\rho$-äquivariant bzgl. der kanonischen Wirkung von ${\pi }_{1}S$ auf ihrem Rand im Unendlichen ${\partial }_{\mathrm{\infty }}{\pi }_{1}S=S^1$ und von $PSL(n,ℝ)$ auf $P({ℝ}^n)$ ist. Man kann zeigen, dass jede äquivariante hyperkonvexe Kurve eine Frenet-Kurve ist. (Labourie)

Darstellungen, für die eine äquivariante hyperkonvexe Kurve existiert, werden als hyperkonvexe Darstellungen bezeichnet.

Es gilt auch die Umkehrung: Wenn eine Darstellung hyperkonvex ist, dann gehört sie zur Hitchin-Komponente. (Guichard)

Literatur

• François Labourie: Anosov flows, surface groups and curves in projective space. Invent. Math. 165 (2006), no. 1, 51–114. pdf
• Olivier Guichard: Composantes de Hitchin et représentations hyperconvexes de groupes de surface. J. Differential Geom. 80 (2008), no. 3, 391–431 pdf