Higgs-Bündel

In der Mathematik sind Higgs-Bündel ein Hilfsmittel in der Darstellungstheorie von Flächengruppen und Fundamentalgruppen komplexer Mannigfaltigkeiten. Sie wurden von Nigel Hitchin eingeführt und wegen der Analogie zu Higgs-Bosonen nach Peter Higgs benannt.

Definition

Ein Higgs-Bündel ist ein Paar $(V,\varphi )$ bestehend aus einem holomorphen Vektorbündel $V$ über einer Riemannschen Fläche $\mathrm{\Sigma }$ und einem Higgs-Feld, d. h. einer $\mathrm{End}(V)$-wertigen holomorphen 1-Form $\varphi$.

Stabilität, Polystabilität

Ein Higgs-Bündel $(V,\varphi )$ heißt stabil, wenn für alle $\varphi$-invarianten holomorphen Unterbündel $W\subset V$ die Ungleichung

$\frac{\mathrm{deg}(W)}{\mathrm{rank}(W)}<\frac{\mathrm{deg}(V)}{\mathrm{rank}(V)}$

gilt. Hierbei bezeichnet $\mathrm{deg}$ den Grad eines Vektorbündels und $\mathrm{rank}$ seinen Rang, also die Dimension seiner Fasern. (Man beachte, dass die Ungleichung nur für $\varphi$-invariante Unterbündel gelten soll, ein stabiles Higgs-Bündel also nicht notwendig ein stabiles Vektorbündel sein muss.)

Ein Higgs-Bündel $(V,\varphi )$ heißt polystabil, wenn es eine direkte Summe

$(V,\varphi )=\underset{i=1}{\overset{l}{⨁}}(V_i,{\varphi }_i)$

stabiler Higgs-Bündel mit

$\frac{\mathrm{deg}(V_i)}{\mathrm{rank}(V_i)}=\frac{\mathrm{deg}(V)}{\mathrm{rank}(V)}$

für $i=1,\dots ,l$ ist.

Darstellungstheorie

Aufbauend auf Resultaten von Corlette und Donaldson bewiesen Hitchin und Simpson die folgenden Äquivalenzen für Riemannsche Flächen $\mathrm{\Sigma }$:

$\left\{\begin{array}{c}\text{Stabile}\text{Higgs-Bündel}\\ (V,\mathrm{\Phi })\text{über}\mathrm{\Sigma }\end{array}\right\}=\left\{\begin{array}{c}\text{Irreduzible}\text{Darstellungen}\\ \rho :{\pi }_1\mathrm{\Sigma }\to GL(n,ℂ)\end{array}\right\}$

$\left\{\begin{array}{c}\text{Polystabile}\text{Higgs-Bündel}\\ (V,\mathrm{\Phi })\text{über}\mathrm{\Sigma }\end{array}\right\}=\left\{\begin{array}{c}\text{Reduktive}\text{Darstellungen}\\ \rho :{\pi }_1\mathrm{\Sigma }\to GL(n,ℂ)\end{array}\right\}$

Höherdimensionale Verallgemeinerung

Über höherdimensionalen komplexen Mannigfaltigkeiten $X$ definiert man ein Higgs-Bündel als ein Paar $(V,\varphi )$ aus einem holomorphen Vektorbündel $V$ über $X$ und einer $\mathrm{End}(V)$-wertigen holomorphen 1-Form $\varphi$, die die Gleichung $\varphi \wedge \varphi =0$ erfüllt.

(Im Falle Riemannscher Flächen ist diese Gleichung trivialerweise erfüllt.)

Prinzipalbündel

Sei $X$ eine kompakte Riemannsche Fläche mit kanonischem Linienbündel $K\simeq T^{*}X$, und sei $G$ eine reelle reduktive Lie-Gruppe mit einer maximal kompakten Untergruppe $H\subset G$. Sei $H^{ℂ}$ die Komplexifizierung und ${𝔤}^{ℂ}={𝔥}^{ℂ}\oplus {𝔪}^{ℂ}$ die Komplexifizierung einer Cartan-Zerlegung. Die von der adjungierten Darstellung induzierte Isotropie-Darstellung $\sigma :H^{ℂ}\to GL({𝔪}^{ℂ})$ ist holomorph und hängt nicht von der gewählten Cartan-Zerlegung ab.

Ein $G$-Higgs-Bündel $(E,\varphi )$ ist ein holomorphes $H^{ℂ}$-Prinzipalbündel $E\to X$ mit einem holomorphen Schnitt $\varphi$ des Vektorbündels $(E{\times }_{\sigma }{𝔪}^{ℂ})\otimes K\to X$.

Der Schnitt $\varphi$ wird als Higgs-Feld bezeichnet.

Zwei Higgs-Bündel $(E,\varphi )$ und $(E^{\prime },{\varphi }^{\prime })$ heißen isomorph, wenn es einen Isomorphismus von Prinzipalbündeln $E\simeq E^{\prime }$ gibt, so dass der induzierte Isomorphismus $(E{\times }_{\sigma }{𝔪}^{ℂ})\otimes K\simeq (E^{\prime }{\times }_{\sigma }{𝔪}^{ℂ})\otimes K$ den Schnitt $\varphi$ auf ${\varphi }^{\prime }$ abbildet.

Ein Higgs-Bündel heißt stabil, wenn für jedes $\varphi$-invariante echte Unterbündel $F\subset E$ gilt:

$\frac{deg(F)}{rank(F)}<\frac{deg(E)}{rank(E)}$.

Literatur

• Corlette, Kevin: Flat G-bundles with canonical metrics. J. Differential Geom. 28 (1988), no. 3, 361–382.
• Donaldson, Simon: Twisted harmonic maps and the self-duality equations. Proc. London Math. Soc. (3) 55 (1987), no. 1, 127–131.
• Hitchin, Nigel: The self-duality equations on a Riemann surface. Proc. London Math. Soc. (3) 55 (1987), no. 1, 59–126.
• Simpson, Carlos: Constructing variations of Hodge structure using Yang-Mills theory and applications to uniformization. J. Amer. Math. Soc. 1 (1988), no. 4, 867–918.

Weblinks

• Joseph Le Potier: Fibrés de Higgs et systèmes locaux (Séminaire Bourbaki)
• Steven B. Bradlow, Oscar García-Prada, Peter B. Gothen: WHAT IS ... a Higgs bundle? (Notices of the AMS)
• Richard A. Wentworth: Higgs bundles and local systems
• Peter B. Gothen: Surface group representations and Higgs bundles
• William M. Goldman: Higgs bundles and geometric structures on surfaces
• Jan Swoboda: Higgsbündel und Darstellungsvarietäten (Jahrbuch der Max-Planck-Gesellschaft)
• Oliver Guichard: An introduction to the differential geometry of flat bundles and of Higgs bundles
• Laura Schaposnik: Higgs bundles - recent applications