Summierbare Familie

Eine summierbare Familie ist ein Begriff aus der Funktionalanalysis. Er dient der Verallgemeinerung des Reihenbegriffs für beliebige Familien in einem Vektorraum.

Formale Definition

Sei $(X,\Vert \cdot \Vert )$ ein normierter Vektorraum. Sei $I$ eine Indexmenge und $(x_i{)}_{i\in I}$ eine Familie. Sei $\hat{x}\in X$.

Die Familie $(x_i{)}_{i\in I}$ heißt summierbar zu $\hat{x}$ genau dann, wenn

$\mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }{E}_0{\subseteq }_{\text{endlich}}I\mathrm{\forall }{E}_0\subseteq E{\subseteq }_{\text{endlich}}I:\Vert \hat{x}-\sum _{i\in E}{x}_i\Vert <\epsilon$

gilt. Wenn sich also zu jedem $\epsilon >0$ eine endliche Teilmenge $E_0\subseteq I$ finden lässt so, dass für alle endlichen Obermengen $E\supseteq E_0$, die in $I$ liegen, die Summe $\sum _{i\in E}{x}_i$ in der Norm von $\hat{x}$ weniger als $\epsilon$ abweicht.

Ähnlich wie bei Reihen lässt sich auch absolute Summierbarkeit definieren. Die Familie $(x_i{)}_{i\in I}$ heißt absolut summierbar zu $\hat{x}$ genau dann, wenn $(\Vert x_i\Vert {)}_{i\in I}$ summierbar zu einem $s\in [0,\mathrm{\infty }[$ ist.

Letztlich heißt eine Familie Cauchy-summierbar genau dann, wenn

$\mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }{E}_0{\subseteq }_{\text{endlich}}I\mathrm{\forall }E{\subseteq }_{\text{endlich}}I\setminus E_0:\Vert \sum _{i\in E}{x}_i\Vert <\epsilon$

gilt.

Bemerkungen

• Absolute Summierbarkeit impliziert Summierbarkeit. Die Umkehrung gilt im Allgemeinen nicht.
• Ist eine Familie summierbar, ist auch jede Teilfamilie summierbar. Summierbarkeit ist also ein stärkeres Kriterium als einfache Konvergenz von Reihen.
• Aus Summierbarkeit folgt Cauchy-Summierbarkeit. In Banachräumen gilt die Umkehrung. Cauchy-Summierbarkeit ist häufig einfacher zu prüfen.
• Sei $x$ summierbar zu $\hat{x}$ und $y$ summierbar zu $\hat{y}$ und $\lambda$ ein Skalar. Dann gilt $\sum _{i\in I}(x+\lambda y)=\hat{x}+\lambda \hat{y}$.
• Der Träger einer summierbaren Familie ist höchstens abzählbar.