Tor (Mathematik)

Der Tor-Funktor ist ein mathematischer Begriff aus dem Teilgebiet der homologischen Algebra. Es handelt sich um einen Bi-Funktor, der bei der Untersuchung des Tensorprodukts auftritt. Er ist neben dem Ext-Funktor eine der wichtigsten Konstruktionen der homologischen Algebra.

Motivation mittels Tensorprodukten

Wir betrachten Kategorien von Moduln über einem Ring $R$. Ist

$0\to X\stackrel{\alpha }{\to }Y\stackrel{\beta }{\to }Z\to 0$

eine kurze exakte Sequenz von Links-$R$-Moduln und Modul-Morphismen und ist $A$ ein Rechts-$R$-Modul, so führt das Tensorieren obiger Sequenz von links mit $A$ zu einer exakten Sequenz

$A{\otimes }_{R}X\stackrel{{\mathrm{i}\mathrm{d}}_A\otimes \alpha }{\to }A{\otimes }_{R}Y\stackrel{{\mathrm{i}\mathrm{d}}_A\otimes \beta }{\to }A{\otimes }_{R}Z\to 0$

von abelschen Gruppen, die sich im Allgemeinen nicht mit dem Nullobjekt nach links zu einer exakten Sequenz fortsetzen lässt, das heißt ${\mathrm{i}\mathrm{d}}_A\otimes \alpha$ ist im Allgemeinen nicht injektiv, oder kurz: Der Tensorfunktor ist rechtsexakt aber im Allgemeinen nicht linksexakt.

Als Beispiel betrachte man die kurze exakte Sequenz

$0\to \mathbb{Z}\stackrel{\alpha }{\to }\mathbb{Z}\stackrel{\beta }{\to }{\mathbb{Z}}_2\to 0$

von $\mathbb{Z}$-Moduln, wobei $\alpha (n):=2n$ und $\beta$ die natürliche Abbildung von $\mathbb{Z}$ auf die Restklassengruppe ${\mathbb{Z}}_2=\{\bar{0},\bar{1}\}$ sei. Tensoriert man diese Sequenz mit ${\mathbb{Z}}_2$, so ist ${\mathrm{i}\mathrm{d}}_{{\mathbb{Z}}_2}\otimes \alpha$ nicht injektiv, denn es ist

$({\mathrm{i}\mathrm{d}}_{{\mathbb{Z}}_2}\otimes \alpha )(\bar{1}\otimes 1)={\mathrm{i}\mathrm{d}}_{{\mathbb{Z}}_2}(\bar{1})\otimes \alpha (1)=\bar{1}\otimes 2\cdot 1=2\cdot \bar{1}\otimes 1=\bar{0}\otimes 1=0$.

Dabei wurde der Faktor 2 von der torsionsfreien Gruppe $\mathbb{Z}$ mittels Tensoroperation in die Torsionsgruppe ${\mathbb{Z}}_2$ verschoben und hat dort zu einer 0 geführt. Das ist der typische Grund, warum die Injektivität des Morphismus $\alpha$ beim Übergang zur tensorierten Sequenz verloren geht. Die fehlende Injektivität führt zum Auftreten eines Kerns und gibt Anlass zu folgender Definition.

Definition

Es seien $A$ ein Rechts-$R$-Modul und $B$ ein Links-$R$-Modul. Weiter sei

$0\to S\stackrel{\mu }{\to }P\stackrel{\nu }{\to }B\to 0$

eine kurze exakte Sequenz mit projektivem Modul $P$. Dann definiert man die abelsche Gruppe

$\mathrm{Tor}(A,B):=\ker (A{\otimes }_{R}S\stackrel{{\mathrm{i}\mathrm{d}}_A\otimes \mu }{\to }A{\otimes }_{R}P)$

und man kann zeigen, dass diese Definition nicht von der gewählten exakten Sequenz $0\to S\to P\to B\to 0$ mit projektivem $P$ abhängt. Das rechtfertigt die Schreibweise $\mathrm{Tor}(A,B)$ ohne Hinweis auf diese Sequenz. Manchmal fügt man noch den Ring $R$ an und schreibt ${\mathrm{Tor}}^R(A,B)$.

Ist $\alpha :A\to A^{\prime }$ ein Morphismus, so entnimmt man dem kommutativen Diagramm

$\begin{array}{cccccc}A{\otimes }_{R}S& \stackrel{{\mathrm{i}\mathrm{d}}_A\otimes \mu }{\to }& A{\otimes }_{R}P& \stackrel{{\mathrm{i}\mathrm{d}}_A\otimes \nu }{\to }& A{\otimes }_{R}B& \to 0\\ {\downarrow }_{\alpha \otimes {\mathrm{i}\mathrm{d}}_S}& & {\downarrow }_{\alpha \otimes {\mathrm{i}\mathrm{d}}_P}& & {\downarrow }_{\alpha \otimes {\mathrm{i}\mathrm{d}}_B}& \\ A^{\prime }{\otimes }_{R}S& \stackrel{{\mathrm{i}\mathrm{d}}_{A^{\prime }}\otimes \mu }{\to }& A^{\prime }{\otimes }_{R}P& \stackrel{{\mathrm{i}\mathrm{d}}_{A^{\prime }}\otimes \nu }{\to }& A^{\prime }{\otimes }_{R}B& \to 0\end{array}$,

dass die Einschränkung von $\alpha \otimes {\mathrm{i}\mathrm{d}}_S$ den Kern von ${\mathrm{i}\mathrm{d}}_A\otimes \mu$ nach $\ker ({\mathrm{i}\mathrm{d}}_{A^{\prime }}\otimes \mu )$ abbildet und so einen Gruppenhomomorphismus ${\alpha }_{*}:\mathrm{Tor}(A,B)\to \mathrm{Tor}(A^{\prime },B)$ definiert. Auf diese Weise erhält man einen Funktor ${\mathrm{Tor}}^R(-,B):{𝔯𝔐𝔬𝔡}_R\to 𝔄𝔟$ von der Kategorie der Rechts-$R$-Moduln in die Kategorie der abelschen Gruppen.

Weiter kann man die Rollen von $A$ und $B$ vertauschen, das heißt man geht von der exakten Sequenz $0\to S\to P\to A$ von Rechts-$R$-Moduln aus und zeigt, dass man mit $\ker (S{\otimes }_{R}B\to P{\otimes }_{R}B)$ eine zu obiger Definition natürlich isomorphe Gruppe erhält, die daher ebenfalls mit $\mathrm{Tor}(A,B)$ bzw. ${\mathrm{Tor}}^R(A,B)$ bezeichnet werden kann. Insgesamt erhält man so einen Bi-Funktor

${\mathrm{Tor}}^R(-,-):{𝔯𝔐𝔬𝔡}_R\times {𝔩𝔐𝔬𝔡}_R\to 𝔄𝔟$

von dem Produkt der Kategorie der Rechts-Moduln über $R$ mit der Kategorie der Links-Moduln über $R$ in die Kategorie der abelschen Gruppen.

Der Tor-Funktor ist additiv, das heißt man hat natürliche Isomorphismen

${\mathrm{Tor}}^R(A\oplus A^{\prime },B)\cong {\mathrm{Tor}}^R(A,B)\oplus {\mathrm{Tor}}^R(A^{\prime },B)$

${\mathrm{Tor}}^R(A,B\oplus B^{\prime })\cong {\mathrm{Tor}}^R(A,B)\oplus {\mathrm{Tor}}^R(A,B^{\prime })$

für Rechts-$R$-Moduln $A,A^{\text{'}}$ und Links-$R$-Moduln $B,B^{\text{'}}$.

Abelsche Gruppen

Wählt man $\mathbb{Z}$ als Grundring, so bewegt man sich in der Kategorie der abelschen Gruppen, denn diese sind genau die $\mathbb{Z}$-Moduln, und man muss wegen der Kommutativität des Grundrings nicht zwischen Links- und Rechts-Moduln unterscheiden. In dieser Kategorie ergeben sich gewisse Vereinfachungen und man findet einen Zusammenhang zwischen dem Tor-Funktor und der für ihn namensgebenden Torsion von Gruppen.

Alternative Beschreibung von Tor(A,B)

Im Falle abelscher Gruppen $A$ und $B$ kann $\mathrm{Tor}(A,B)$ wie folgt durch Erzeuger und Relationen präsentiert werden.

Die Menge $ℰ$ der Erzeuger sei die Menge aller Symbole $⟨a,m,b⟩$ mit $a\in A,m\in \mathbb{Z},b\in B$, $am=0$ und $mb=0$, wobei hier die $\mathbb{Z}$-Modul-Operation nur aus praktischen Gründen einmal links und einmal rechts geschrieben wurde, eine Unterscheidung ist, wie oben erwähnt, nicht nötig. Die Menge $ℛ$ der Relationen enthalte alle Ausdrücke der Form

$⟨a_1+a_2,m,b⟩=⟨a_1,m,b⟩+⟨a_2,m,b⟩,⟨a_1,m,b⟩,⟨a_2,m,b⟩\in ℰ$

$⟨a,m,b_1+b_2⟩=⟨a,m,b_1⟩+⟨a,m,b_2⟩,⟨a,m,b_1⟩,⟨a,m,b_2⟩\in ℰ$

$⟨a,mn,b⟩=⟨am,n,b⟩,⟨am,n,b⟩\in ℰ$

$⟨a,mn,b⟩=⟨a,m,nb⟩,⟨a,m,nb⟩\in ℰ$

Dann kann man zeigen, dass die durch $⟨ℰ|ℛ⟩$ präsentierte Gruppe zu $\mathrm{Tor}(A,B)$ isomorph ist. Zur Konstruktion einer Abbildung $⟨ℰ|ℛ⟩\to \mathrm{Tor}(A,B)$ sei $0\to S\stackrel{\mu }{\to }P\stackrel{\nu }{\to }B\to 0$ eine kurze exakte Sequenz mit projektivem $\mathbb{Z}$-Modul $P$ und $⟨a,m,b⟩$ ein Erzeuger. Wähle $p\in P$ mit $\nu (p)=b$. Dann ist $\nu (mp)=mb=0$ und wegen der Exaktheit gibt es genau ein $s\in S$ mit $\mu (s)=mp$. Man kann zeigen, dass $a\otimes s$ nicht von der Wahl $p$ abhängt. Da

$({\mathrm{i}\mathrm{d}}_A\otimes \mu )(a\otimes s)=a\otimes \mu (s)=a\otimes mp=am\otimes p=0\otimes p=0$,

liegt $a\otimes s$ im Kern von ${\mathrm{i}\mathrm{d}}_A\otimes \mu$ und damit definitionsgemäß in $\mathrm{Tor}(A,B)$. Die vorgestellte Konstruktion definiert daher eine Abbildung $⟨ℰ|ℛ⟩\to \mathrm{Tor}(A,B)$, von der man zeigen kann, dass es sich um einen Gruppenisomorphismus handelt.

Charakterisierung torsionsfreier Gruppen

Für eine abelsche Gruppe $A$ sind folgende Aussagen äquivalent:

• $A$ ist torsionsfrei, das heißt enthält außer 0 keine Elemente endlicher Ordnung.
• $\mathrm{Tor}(A,B)=0$ für alle abelschen Gruppen $B$.
• Für alle injektiven Gruppenhomomorphismen $\beta :B\to C$ ist auch ${\mathrm{i}\mathrm{d}}_A\otimes \beta :A{\otimes }_{\mathbb{Z}}B\to A{\otimes }_{\mathbb{Z}}C$ injektiv.
• Jede exakte Sequenz abelscher Gruppen geht durch Tensorieren mit $A$ wieder in eine exakte Sequenz über.

Insbesondere ist $\mathrm{Tor}(A,B)=0$, falls eine der Gruppen gleich $\mathbb{Z}$ oder $\mathbb{Q}$ ist.

Endlich erzeugte abelsche Gruppen

$\mathrm{Tor}(A,B)$ lässt sich für endlich erzeugte abelsche Gruppen vollständig berechnen. Nach dem Hauptsatz über endlich erzeugte abelsche Gruppen sind solche Gruppen direkte Summen von zyklischen Gruppen, so dass $\mathrm{Tor}(A,B)$ wegen der Additivität des Tor-Funktors nur noch für zyklische Gruppen zu bestimmen ist. Ist eine der Gruppen gleich $\mathbb{Z}$, so ist $\mathrm{Tor}(A,B)=0$ und es bleibt nur noch der Fall endlicher zyklischer Gruppen. Sei ${\mathbb{Z}}_n$ die zyklische Gruppe der Ordnung $n$. Dann folgt

$\mathrm{Tor}({\mathbb{Z}}_n,B)\cong \{b\in B;nb=0\}$

und daraus, wenn man den größten gemeinsamen Teiler von $m$ und $n$ mit $(m,n)$ bezeichnet:

$\mathrm{Tor}({\mathbb{Z}}_m,{\mathbb{Z}}_n)\cong {\mathbb{Z}}_{(m,n)}$,

was man aber auch direkt aus der Definition mit der Auflösung $0\to \mathbb{Z}\stackrel{a\mapsto ma}{\to }\mathbb{Z}\to {\mathbb{Z}}_m$ herleiten kann. Damit ist $\mathrm{Tor}(A,B)$ für endlich erzeugte abelsche Gruppen bestimmt.

Tor als Ableitung des Tensor-Funktors

Eine allgemeinere Definition erhält man durch

${\mathrm{Tor}}_n^R(A,B):=L_n(-{\otimes }_{R}B)(A)\cong L_n(A{\otimes }_R-)(B)$

als $n$-te Linksableitung des Tensorfunktors. Ist der Grundring $R$ durch den Kontext gegeben, so lässt man ihn in der Bezeichnung fort und schreibt einfach ${\mathrm{Tor}}_n(A,B)$. Man erhält so eine Folge von Bi-Funktoren

${\mathrm{Tor}}_n^R(-,-):{𝔯𝔐𝔬𝔡}_R\times {𝔩𝔐𝔬𝔡}_R\to 𝔄𝔟$.

Verwendet man projektive Auflösungen zur Berechnung von ${\mathrm{Tor}}_n^R(A,B)$, so sieht man, dass ${\mathrm{Tor}}_1^R(A,B)$ mit dem oben definierten $\mathrm{Tor}$-Funktor zusammenfällt.

Man erhält aus der allgemeinen Theorie folgende lange exakte Sequenzen, die zeigen, wie der Tor-Funktor die fehlende Linksexaktheit des Tensorfunktors kompensiert.

Ist $0\to A\to A^{\text{'}}\to A^{{\text{'}}^{\prime }}\to 0$ eine kurze exakte Sequenz von Rechts-$R$-Moduln und $B$ ein Links-$R$-Modul, so hat man eine lange exakte Sequenz

$\dots \to {\mathrm{Tor}}_2(A^{{\text{'}}^{\prime }},B)\to {\mathrm{Tor}}_1(A,B)\to {\mathrm{Tor}}_1(A^{\text{'}},B)\to {\mathrm{Tor}}_1(A^{{\text{'}}^{\prime }},B)$

$\to A{\otimes }_{R}B\to A^{\text{'}}{\otimes }_{R}B\to A^{{\text{'}}^{\prime }}{\otimes }_{R}B\to 0$.

Ist $0\to B\to B^{\text{'}}\to B^{{\text{'}}^{\prime }}\to 0$ eine kurze exakte Sequenz von Links-$R$-Moduln und $A$ ein Rechts-$R$-Modul, so hat man eine lange exakte Sequenz

$\dots \to {\mathrm{Tor}}_2(A,B^{{\text{'}}^{\prime }})\to {\mathrm{Tor}}_1(A,B)\to {\mathrm{Tor}}_1(A,B^{\text{'}})\to {\mathrm{Tor}}_1(A,B^{{\text{'}}^{\prime }})$

$\to A{\otimes }_{R}B\to A{\otimes }_R{B}^{\text{'}}\to A{\otimes }_R{B}^{{\text{'}}^{\prime }}\to 0$.