Hauptsatz über endlich erzeugte abelsche Gruppen

Der Hauptsatz über endlich erzeugte abelsche Gruppen (oder Struktursatz für endlich erzeugte abelsche Gruppen) ist ein Resultat aus der Gruppentheorie, insbesondere der Theorie über endlich erzeugte abelsche Gruppen. Das sind Gruppen, die unter ihrer binären Verknüpfung kommutieren und in denen jedes Element $g\in G$ als Produkt von Elementen einer endlichen Erzeugermenge darstellbar ist.

Die Aussage des Satzes ist, dass für alle diese Gruppen eine Zerlegung oder Dekomposition in endlich viele zyklische Untergruppen, das sind Gruppen, die von genau einem Element erzeugt werden, existiert. Die Gruppe $G$ ist das direkte Produkt $G$ dieser Untergruppen. Weil jede zyklische Gruppe endlicher Ordnung isomorph zu einer Restklassengruppe $(\mathbb{Z}/d\mathbb{Z},+)$ ist und jede zyklische Gruppe unendlicher Ordnung isomorph zur Gruppe der ganzen Zahlen $(\mathbb{Z},+)$, ist damit jede dieser Gruppen isomorph zu einem Produkt aus einer unendlichen oder trivialen Gruppe vom Typ ${\mathbb{Z}}^n(n\in \mathbb{N})$ mit einer endlichen Gruppe, die ein Produkt von Restklassengruppen ist.

Anders formuliert besagt der Hauptsatz, dass eine endlich erzeugte abelsche Gruppe direktes Produkt einer freien abelschen Gruppe von endlichem Rang und einer endlichen abelschen Gruppe ist. Die endliche abelsche Gruppe ist die Torsionsuntergruppe von $G$. Die freie abelsche Gruppe ist im Allgemeinen nicht eindeutig bestimmt, sondern nur ihr Rang.

Der Satz folgt unmittelbar aus dem Satz über die Klassifizierung endlich erzeugter Moduln über Hauptidealringen, da jede abelsche Gruppe als Modul über dem Hauptidealring der ganzen Zahlen aufgefasst werden kann.

Aussage

Ist $G$ eine endlich erzeugte abelsche Gruppe, so gibt es eindeutig bestimmte nicht-negative ganze Zahlen $r,t$ sowie eindeutig bestimmte Primzahlpotenzen $1<d_1\le \dots \le d_t$ mit

$G\cong {\mathbb{Z}}^r\oplus \underset{i=1}{\overset{t}{⨁}}\mathbb{Z}/d_i\mathbb{Z}.$

Beweisidee

Die Existenz der Zerlegung zeigt man, indem von einem beliebigen Erzeugendensystem ausgehend durch elementare Umformungen ein geeignetes ggf. anderes Erzeugendensystem konstruiert wird, das die Abspaltung eines Summanden zulässt. Auf diese Weise wird ein Beweis durch vollständige Induktion nach der Anzahl der Erzeuger ermöglicht.

Folgerungen und Beispiele

• Die Eigenschaften frei, projektiv, torsionsfrei, flach sind in endlich erzeugten abelschen Gruppen äquivalent.

Für endliche abelsche Gruppen

Für den Isomorphietyp der zyklischen Gruppe mit $m$ Elementen, $(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z},+)$ wird im Folgenden abkürzenden $C_m$ geschrieben, Gruppen werden, wie in der Theorie der endlichen Gruppen üblich „multiplikativ“ geschrieben, die direkten Summen aus dem Hauptsatz demgemäß als direkte Produkte.

Jede endliche, nicht triviale, abelsche p-Gruppe $G$ ($p$ positive Primzahl) hat als Gruppenordnung eine Potenz $p^n,n\in \mathbb{N}.$ Zu jeder Zahlpartition von $n$ existiert bis auf Isomorphie genau eine abelsche Gruppe mit $p^n$ Elementen. Die Anzahl der Zahlpartitionen kann mit der Partitionsfunktion $P(n)$ angegeben werden.

Beispiel

• Zur Gruppenordnung $16=2^4$ existieren genau $P(4)=5$ verschiedene Isomorphietypen von abelschen Gruppen

${C_2}^4$ zur Partition $4=1+1+1+1$, $C_4\times {C_2}^2$ zur Partition $4=2+1+1$, ${C_4}^2$ zur Partition $4=2+2$, $C_8\times C_2$ zur Partition $4=3+1$ und $C_{16}$ zur Partition $4=4$.

Zusammen mit der Aussage aus der elementaren Zahlentheorie $C_r\times C_s\cong C_{r\cdot s}$ genau dann, wenn $r,s$ teilerfremd sind, ergibt sich:

• Genau dann, wenn $N$ eine quadratfreie natürliche Zahl ist, das heißt, wenn für keine Primzahl $p$ das Quadrat $p^2$ ein Teiler von $N$ ist, gibt es bis auf Isomorphie nur eine abelsche Gruppe $G$ mit $N$ Elementen. Die Gruppe ist dann zyklisch und es gilt $G\cong C_N$
• Ist $N={p_1}^{r_1}\cdot {p_2}^{r_2}\cdot \cdots \cdot {p_k}^{r_k}$ die Primfaktorzerlegung von $N$, dann existieren bis auf Isomorphie genau $P(r_1)\cdot P(r_2)\cdot \cdots \cdot P(r_k)$ abelsche Gruppen mit $N$ Elementen. ($P(r_1)$ usw. ist dabei jeweils die Partitionsfunktion.)

Jede solche Gruppe besitzt ein Erzeugendensystem aus höchstens $R:=\max (r_1,r_2,\dots r_k)$ Gruppenelementen.

• Jede endliche abelsche Gruppe $G$ mit der Gruppenordnung $N$ ist isomorph zu einem direkten Produkt

$C_{m_1}\times C_{m_2}\times \cdots \times C_{m_s},$ dabei gilt $m_1>1$, $m_k$ teilt stets $m_{k+1}$ für $1\le k<s$ und für das Produkt aller dieser Zahlen gilt $m_1\cdot m_2\cdot \cdots m_s=N$.

• Die angegebene Produktdarstellung ist durch die Gruppe $G$ und die Teilbarkeitsforderung eindeutig bestimmt.
• Die maximale Ordnung eines Gruppenelements ist $M=m_s$, für alle Gruppenelemente $g\in G$ gilt $g^M=e$ und jede andere natürliche Zahl $K$, für die $g^K=e$ für alle Gruppenelemente $g\in G$ gilt, ist ein Vielfaches von $M$.
• Die Gruppe besitzt ein Erzeugendensystem aus $s$ Gruppenelementen und jedes Erzeugendensystem enthält mindestens $s$ Elemente. Die angegebene Darstellung ist insoweit eine „minimale Produktdarstellung“ der Gruppe.

Beispiele

• Die abelsche Gruppe $G$ habe den Isomorphietyp $G\cong {C_2}^2\times C_3\times C_4\times {C_9}^2\times {C_{27}}^2$ gemäß der Darstellung im Hauptsatz. Mit Hilfe einer sortierten Tabelle der auftretenden Primzahlpotenzordnungen erhält man daraus die genannte „minimale Produktdarstellung“:

Potenzen von 3:	3	9	9	27	27
Potenzen von 2:	1	1	2	2	4
Produkte:	3	9	18	54	108

Dabei sortiert man nach aufsteigenden Exponenten der Primzahlpotenz und füllt in Zeilen, die weniger als 5 Potenzen enthalten, von vorn mit 1 auf. Die letzte Zeile, in der die Produkte der Spalten stehen, enthält dann die aufsteigende Kette von Teilern. Das ergibt

$G\cong C_3\times C_9\times C_{18}\times C_{54}\times C_{108}$

, gemäß der genannten Darstellung mit aufsteigenden Teilern, man kommt also für diese Gruppe mit einem Erzeugendensystem aus fünf Gruppenelementen aus – 5 ist die maximale Anzahl von p-Gruppen zu einer Primzahl (hier p=3), die in der Produktdarstellung gemäß dem Hauptsatz vorkommen!

• Für die abelsche Gruppe $G=C_3\times C_6\times C_6\times C_{60}$

Produkte:	3	6	6	60
Potenzen von 2:	1	2	2	4
Potenzen von 3:	3	3	3	3
Potenzen von 5:	1	1	1	5

tabelliert man zunächst die aufsteigenden Teiler, faktorisiert sie nach den auftretenden Primzahlpotenzen und erhält so die Darstellung gemäß Hauptsatz

$G\cong {C_2}^2\times {C_3}^4\times C_4\times C_5$

. Ein minimales Erzeugendensystem dieser Gruppe enthält vier Elemente.

Literatur

• Müller-Stach, Piontkowski: Elementare und algebraische Zahlentheorie. Vieweg, ISBN 978-3-8348-0211-8.
• Leutbecher: Zahlentheorie – Eine Einführung in die Algebra. Springer, ISBN 978-3-540-58791-0.
• Siegfried Bosch: Algebra. 7. Auflage. Springer-Verlag, 2009, ISBN 3-540-40388-4, doi:10.1007/978-3-540-92812-6.