Ext (Mathematik)

Ext ist ein Bifunktor, der in der homologischen Algebra eine zentrale Rolle spielt.

Definition

Sei $𝒜$ eine abelsche Kategorie, zum Beispiel die Kategorie der Moduln eines Ringes, die nach dem Einbettungssatz von Mitchell das Standardbeispiel ist. Zu zwei Objekten $X$ und $Z$ aus $𝒜$ sei $ℰ$ die Klasse der kurzen exakten Sequenzen der Form

$0\to X\to Y\to Z\to 0.$

Auf $ℰ$ wird nun eine Äquivalenzrelation definiert. Zwei exakte Sequenzen $0\to X\to Y\to Z\to 0$ und $0\to X\to Y^{\prime }\to Z\to 0$ sind äquivalent, wenn es einen Morphismus $g:Y\to Y^{\prime }$ gibt, so dass das Diagramm

$\begin{array}{ccccccccc}0& \to & X& \to & Y& \to & Z& \to & 0\\ & & \downarrow \mathrm{id}& & \downarrow g& & \downarrow \mathrm{id}\\ 0& \to & X& \to & Y^{\prime }& \to & Z& \to & 0\end{array}$

kommutiert. Dabei ist $\mathrm{id}$ der identische Morphismus.

Aus dem Fünferlemma folgt sofort, dass wenn es solch einen Morphismus $g$ gibt, dieser ein Isomorphismus sein muss. Die Klasse $ℰ$ modulo dieser Äquivalenzrelation ist eine Menge und wird mit $\mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{t}(Z,X)$ bezeichnet. Auf dieser Menge lässt sich eine Gruppenstruktur definieren.

Funktorialität

Morphismen in der abelschen Kategorie induzieren auf folgende Weise Morphismen zwischen den Ext-Gruppen, so dass $\mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{t}$ zu einem zweistelligen Funktor wird.

Zu $g:X\to X^{\prime }$ und der Sequenz $0\to X\to Y\to Z\to 0$ kann man den Push-out bilden:

$\begin{array}{ccccccccc}0& \to & X& \to & Y& \to & Z& \to & 0\\ & & \downarrow g& & \downarrow & & \\ 0& \to & X^{\prime }& \to & Y^{\prime }\end{array}$

Wegen der universellen Eigenschaft des Push-outs gibt es einen induzierten Epimorphismus von Y' nach Z, so dass das folgende Diagramm kommutiert:

$\begin{array}{ccccccccc}0& \to & X& \to & Y& \to & Z& \to & 0\\ & & \downarrow g& & \downarrow & & \downarrow \mathrm{id}\\ 0& \to & X^{\prime }& \to & Y^{\prime }& \to & Z& \to & 0\end{array}$

Dabei ist die untere Zeile ebenfalls exakt und ihre Äquivalenzklasse somit ein Element in $\mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{t}(Z,X^{\prime })$.

Bildet man die Äquivalenzklasse von $0\to X\to Y\to Z\to 0$ auf die Äquivalenzklasse von $0\to X^{\prime }\to Y^{\prime }\to Z\to 0$ ab, so erhält man einen wohldefinierten Gruppenhomomorphismus $\mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{t}(Z,X)\to \mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{t}(Z,X^{\prime })$.

Dual funktioniert das auch mit Morphismen von Z' nach Z. Zu $g:Z^{\prime }\to Z$ und der Sequenz $0\to X\to Y\to Z\to 0$ kann man folgenden Pull-back bilden:

$\begin{array}{ccccccccc}& & & & Y^{\prime }& \to & Z^{\prime }& \to & 0\\ & & & & \downarrow & & \downarrow g\\ 0& \to & X& \to & Y& \to & Z& \to & 0\end{array}.$

Wegen der universellen Eigenschaft des Pull-backs gibt es einen induzierten Monomorphismus von X nach Y', so dass das folgende Diagramm kommutiert:

$\begin{array}{ccccccccc}0& \to & X& \to & Y^{\prime }& \to & Z^{\prime }& \to & 0\\ & & \downarrow \mathrm{id}& & \downarrow & & \downarrow g\\ 0& \to & X& \to & Y& \to & Z& \to & 0\end{array}$

Dabei ist die obere Zeile ebenfalls exakt und definiert somit ein Element in $\mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{t}(Z^{\prime },X)$.

Bildet man die Äquivalenzklasse von $0\to X\to Y\to Z\to 0$ auf die Äquivalenzklasse von $0\to X\to Y^{\prime }\to Z^{\prime }\to 0$ ab, so erhält man wieder einen wohldefinierten Gruppenhomomorphismus $\mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{t}(Z,X)\to \mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{t}(Z^{\prime },X)$.

Ext als Ableitung des Hom-Funktors

Eine andere Möglichkeit der Definition verwendet die abgeleiteten Funktoren von Hom. Die oben definierte Konstruktion kann mit der ersten Rechtsableitung des Hom-Funktors identifiziert werden.

Genauer betrachtet man eine abelsche Kategorie mit ausreichend vielen projektiven Objekten (d. h. jedes Objekt ist Quotient eines projektiven Objektes) den kontravarianten Funktor $\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(-,X)$ und definiert

${\mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{t}}^n(Z,X):=R_n\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(-,X)(Z)$,

das heißt man bildet die $n$-te Rechtsableitung von $\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(-,X)$ und wendet den so entstandenen Funktor auf $Z$ an.

Etwas konkreter bedeutet das folgendes: Es sei $n\ge 1$ und

$\begin{array}{ccccc}\dots \to & P_n& \to & P_{n-1}& \to \dots \to Z\to 0\\ & {\lambda }_n\downarrow & \nearrow {\kappa }_n\\ & K_n\end{array}$

eine projektive Auflösung von $Z$ mit einem Epimorphismus ${\lambda }_n:P_n\to K_n$ und einem Monomorphismus ${\kappa }_n:K_n\to P_{n-1}$, so dass $(P_n\to P_{n-1})={\kappa }_n\circ {\lambda }_n$. Weiter sei ${\kappa }_n^{*}=\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}({\kappa }_n,X)$ der induzierte Homomorphismus

${\kappa }_n^{*}:\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(P_{n-1},X)\to \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(K_n,X),f\mapsto f\circ {\kappa }_n$.

Dann ist

${\mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{t}}^n(Z,X)\cong \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}({\kappa }_n^{*})=\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(K_n,X)/{\kappa }_n^{*}(\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(P_{n-1},X))$.

Die Elemente aus ${\mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{t}}^n(Z,X)$ sind also gewisse Äquivalenzklassen von Elementen aus $\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(K_n,X)$.

Schließlich sei darauf hingewiesen, dass man die Rollen von $X$ und $Z$ auch vertauschen kann, man erhält

${\mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{t}}^n(Z,X)\cong R_n\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(Z,-)(X)$.

Zusammenhang zwischen Ext und Ext¹

In diesem Abschnitt soll erläutert werden, wie die oben definierten Konstrukte $\mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{t}$ und ${\mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{t}}^1$ zusammenhängen. Wir konstruieren eine Abbildung $\mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{t}(Z,X)\to {\mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{t}}^1(Z,X)$.

Sei $0\to X\to Y\to Z\to 0$ eine kurze exakte Sequenz, die ein Element aus $\mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{t}(Z,X)$ definiert. Weiter sei $0\to K\to P\to Z\to 0$ eine kurze exakte Sequenz mit projektivem $P$. Mittels der Projektivität von $P$ kann man ein kommutatives Diagramm

$\begin{array}{ccccccc}0\to & K& \to & P& \to & Z& \to 0\\ & \downarrow \psi & & \downarrow \phi & & \Vert \\ 0\to & X& \to & Y& \to & Z& \to 0\end{array}$

konstruieren. Dann ist $\psi \in \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(K,X)$ ein Homomorphismus, dessen Äquivalenzklasse nach obiger Darstellung von ${\mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{t}}^n(Z,X)$ ein Element aus ${\mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{t}}^1(Z,X)$ definiert.

Bildet man die Äquivalenzklasse von $0\to X\to Y\to Z\to 0$ in $\mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{t}(Z,X)$ auf die Äquivalenzklasse von $\psi$ in ${\mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{t}}^1(Z,X)$ ab, so erhält man eine wohldefinierte Abbildung $\mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{t}(Z,X)\to {\mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{t}}^1(Z,X)$, von der man zeigen kann, dass es sich um einen Gruppenisomorphismus handelt.

Daher kann man $\mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{t}$ mit ${\mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{t}}^1$ identifizieren, das heißt $\mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{t}$ kann in diesem Sinne als erste Rechtsableitung des $\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}$-Funktors definiert werden.

Lange exakte Sequenz

Der Hom-Funktor ist linksexakt, das heißt für eine kurze exakte Sequenz

$0\to X\to Y\to Z\to 0$

und ein weiteres Objekt (Modul) $A$ hat man eine exakte Sequenz

$0\to \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(A,X)\to \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(A,Y)\to \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(A,Z)$,

und diese lässt sich im Allgemeinen nicht exakt mit 0 fortsetzen. Wegen der Linksexaktheit stimmt die 0-te Ableitung des Hom-Funktors mit Hom überein, das heißt, wenn man obige Definition von ${\mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{t}}^n$ auf $n=0$ ausdehnt, so hat man ${\mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{t}}^0=\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}$. Die lange exakte Sequenz für abgeleitete additive Funktoren liefert daher die folgende exakte Sequenz

$0\to \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(A,X)\to \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(A,Y)\to \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(A,Z)$

$\to {\mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{t}}^1(A,X)\to {\mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{t}}^1(A,Y)\to {\mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{t}}^1(A,Z)\to {\mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{t}}^2(A,X)\to \dots$.

Analog erhält man eine lange exakte Sequenz

$0\to \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(Z,A)\to \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(Y,A)\to \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(X,A)$

$\to {\mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{t}}^1(Z,A)\to {\mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{t}}^1(Y,A)\to {\mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{t}}^1(X,A)\to {\mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{t}}^2(Z,A)\to \dots$.

In diesem Sinne schließen die Ext-Funktoren die durch die fehlende Exaktheit des Hom-Funktors entstandene Lücke.