Symbolklasse

Symbolklassen sind mathematische Objekte aus dem Bereich der partiellen Differentialgleichungen. Sie wurden von Lars Hörmander eingeführt und werden deshalb manchmal auch Hörmander-Klassen genannt. Ihre Elemente sind eine Verallgemeinerung des Symbols eines Differentialoperators.

Symbolklassen

Möchte man Verallgemeinerungen von Differentialoperatoren wie zum Beispiel Pseudodifferentialoperatoren oder Fourier-Integraloperatoren betrachten, so kann man auch Symbole von reellem Grad verwenden beziehungsweise untersuchen. Zu diesem Zweck wurden die Symbolklassen von Lars Hörmander eingeführt.

Definition

Seien $n,N\in \mathbb{N}$ natürliche Zahlen, $X\subset {ℝ}^n$ eine offene Teilmenge und $m,\rho ,\delta$ reelle Zahlen mit $0<\rho \le 1$ und $0\le \delta <1$. Dann versteht man unter $S_{\rho ,\delta }^m(X\times {ℝ}^N)$ die Menge aller glatten Funktionen $a\in C^{\mathrm{\infty }}(X\times {ℝ}^N)$, so dass für jede kompakte Menge $K\subset X$ und alle $\alpha ,\beta \in \mathbb{N}\cup \{0\}$ die Ungleichung

$|\frac{{\partial }^{\beta }}{\partial x^{\beta }}\frac{{\partial }^{\alpha }}{\partial {\xi }^{\alpha }}a(x,\xi )|\le C_{\alpha ,\beta ,K}(1+|\xi |{)}^{m-\rho |\alpha |+\delta |\beta |}$

für eine Konstante $C_{\alpha ,\beta ,K}$ erfüllt ist. Die Elemente von $S_{\rho ,\delta }^m$ werden Symbole der Ordnung $m$ und des Typs $(\rho ,\delta )$ genannt. Außerdem werden die Symbolklassen $S^{-\mathrm{\infty }}$ und $S^{\mathrm{\infty }}$ durch

$\begin{array}{cc}{S}^{-\mathrm{\infty }}& :=\bigcap _{m\in ℝ}{S}_{\rho ,\delta }^m\\ S_{\rho ,\delta }^{\mathrm{\infty }}& :=\bigcup _{m\in ℝ}{S}_{\rho ,\delta }^m\end{array}$

definiert.

Topologisierung

Die besten Konstanten der Ungleichung

$|\frac{{\partial }^{\beta }}{\partial x^{\beta }}\frac{{\partial }^{\alpha }}{\partial {\xi }^{\alpha }}a(x,\xi )|\le C_{\alpha ,\beta ,K}(1+|\xi |{)}^{m-\rho |\alpha |+\delta |\beta |}$

das heißt die Konstanten

$p_{K,\alpha ,\beta }(a):=\underset{x\in K;\xi \in {ℝ}^n}{\sup }\frac{{\partial }^{\beta }}{\partial x^{\beta }}\frac{{\partial }^{\alpha }}{\partial {\xi }^{\alpha }}a(x,\xi )(1+|\xi |{)}^{-m+\rho |\alpha |-\delta |\beta |}$

sind Halbnormen. Diese machen die Räume $S^m(X\times {ℝ}^n)$ zu Fréchet-Räumen. Da $S^{-\mathrm{\infty }}:=\bigcap _{m\in ℝ}{S}_{\rho ,\delta }^m=\bigcap _{m\in \mathbb{Z}}{S}_{\rho ,\delta }^m$ gilt und der abzählbare Durchschnitt von Fréchet-Räumen wieder ein Fréchet-Raum ist, ist auch $S^{-\mathrm{\infty }}$ ein Fréchetraum.

Beispiele

Sei $X\subset {ℝ}^n$ eine offene Teilmenge.

• Identifiziert man den Raum der reellen Zahlen $ℝ$ mit dem Raum der konstanten Funktionen, so ist dieser ein Teilraum von $S_{1,0}^0(X\times {ℝ}^N)$.
• Sei

$p(x,\xi )=\sum _{|\alpha |\le k}{a}_{\alpha }(x){\xi }^{\alpha }$

mit Koeffizientenfunktionen $a_{\alpha }\in C^{\mathrm{\infty }}(X)$ ein Symbol eines Differentialoperators der Ordnung $k\in {\mathbb{N}}_0$. Dann gilt $p\in S_{1,0}^k(X\times {ℝ}^N)$.

• Sei $p(\xi )=(1+|\xi {|}^2{)}^{m/2}$ mit $-\mathrm{\infty }<m<\mathrm{\infty }$. Dann gilt $p\in S_{1,0}^m(X\times {ℝ}^N)$.

Eigenschaften

• Die Symbolklassen $S_{\rho ,\delta }^m(X\times {ℝ}^N)$ sind für alle $m\in ℝ\cup \{-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty }\}$, $0<\rho \le 1$ und $0\le \delta <1$ Montel-Räume.
• Differenzieren des Symbols nach der zweiten Variablen verbessert (also verringert) die Ordnung. Präzise bedeutet dies, dass die Abbildung

$p\mapsto \frac{{\partial }^{\beta }}{\partial x^{\beta }}\frac{{\partial }^{\alpha }}{\partial {\xi }^{\alpha }}p(x,\xi ):S_{\rho ,\delta }^m(X\times {ℝ}^N)\to S_{\rho ,\delta }^{m-\rho |\alpha |}(X\times {ℝ}^N)$

linear und stetig ist.

• Multiplizieren zweier Symbole ergibt wieder ein Symbol, es gilt nämlich

$(p,\tilde{p})\mapsto p(x,\xi )\tilde{p}(x,\xi ):S_{\rho ,\delta }^m(X\times {ℝ}^N)\times S_{\rho ,\delta }^{m^{\prime }}(X\times {ℝ}^N)\to S_{\rho ,\delta }^{m+m^{\prime }}(X\times {ℝ}^N).$

Diese Abbildung ist bilinear und stetig.

• Für $m\le m^{\prime }$ gilt $S_{1,0}^m\subset S_{1,0}^{m^{\prime }}$.
• Sei $a\in C^{\mathrm{\infty }}(X\times {ℝ}^N)$ positiv homogen vom Grad m für $|\xi |\ge 1$, das heißt

$a(x,\lambda \xi )={\lambda }^{m}a(x,\xi )$

für $\lambda \ge 1$ und $|\xi |\ge 1$. Dann gilt $a\in S_{1,0}^m(X\times {ℝ}^N)$.

• Sei $X\subset {ℝ}^N$ offen und $m<m^{\prime }$. Auf beschränkten Teilmengen von $S_{1,0}^m(X\times {ℝ}^N)$ ist die durch $S_{1,0}^{m^{\prime }}(X\times {ℝ}^N)$ induzierte Topologie die Topologie der punktweisen Konvergenz.
• Sei $m<m^{\prime }$. Dann ist $S^{-\mathrm{\infty }}(X\times {ℝ}^N)$ in der $S_{1,0}^{m^{\prime }}$-Topologie dicht in $S_{1,0}^m(X\times {ℝ}^N)$.

Asymptotische Entwicklung eines Symbols

Definition

Sei $a\in S_{\rho ,\delta }^m(X\times {ℝ}^N)$ ein Symbol. Existieren $a_i\in S_{\rho ,\delta }^{m_i}(X\times {ℝ}^N)$ mit

$m=m_0>m_1>\dots >m_i\to -\mathrm{\infty }i\to \mathrm{\infty },$

so dass

$a-\sum _{j=0}^{N-1}{a}_j\in S_{\rho ,\delta }^{m_N}(X\times {ℝ}^N)$

für jede positive Zahl $N\in \mathbb{N}$ gilt. Die formale Reihe ${\sum }_{j=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_j$ ist eine asymptotische Entwicklung von $a$ und man schreibt

$a\sim \sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_j.$

Eindeutigkeit

Die asymptotisch Entwicklung eines Symbols ist eindeutig modulo Symbole der Klasse $S^{-\mathrm{\infty }}(X\times {ℝ}^N)$. Präzise formuliert heißt das:

Sei $m_0>m_1>\dots >m_i\to \mathrm{\infty }$ eine Zerlegung mit $i\to \mathrm{\infty }$ und sei $a_i\in S_{\rho ,\delta }^{m_i}(X\times {ℝ}^N)$. Dann existiert ein Symbol $a\in S_{\rho ,\delta }^{m_0}(X\times {ℝ}^N)$, so dass

$a\sim \sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_j$

gilt. Gibt es ein weiteres Symbol $b$ mit der gleichen asymptotischen Entwicklung, dann gilt $a-b\in S^{-\mathrm{\infty }}(X\times {ℝ}^N)$.

Klassisches Symbol

Ein klassisches Symbol ist ein Spezialfall eines Symbols aus dem Raum $S_{1,0}^m.$ Diese erweisen sich im Zusammenhang mit Pseudo-Differentialoperatoren als einfacher zu handhaben. Eingeführt wurde diese Klasse von Funktionen von den Mathematikern Joseph Kohn und Louis Nirenberg.

Ein Symbol $a\in S_{1,0}^m(X\times {ℝ}^N)$ heißt klassisches Symbol und man schreibt dafür $a\in S_{cl}^m(X\times {ℝ}^N)$, wenn es eine Ausschälfunktion $\varphi \in C^{\mathrm{\infty }}({ℝ}^N)$ gibt und Funktionen $a_j\in C^{\mathrm{\infty }}(X\times ({ℝ}^N\mathrm{\setminus }\{0\}))$, so dass jedes $a_j$ positiv homogen von der Ordnung $m-j$ in der Variablen $\xi$ ist. Es muss also

$a_j(x,t\xi )=t^{m-j}{a}_j(x,\xi )\mathrm{\forall }(x,t,\xi )\in X\times {ℝ}^N\times {ℝ}_{+}$

gelten und außerdem muss

$a(x,\xi )-\sum _{j=0}^{k-1}\varphi (x)a_j(x,\xi )\in S^{m-k}(X\times {ℝ}^N)$

für alle $k\in \mathbb{N}$ gelten. Dies liefert eine asymptotische Entwicklung von $a$.

Literatur

• Hörmander, Lars - The analysis of linear partial differential operators 1.. Distribution theory and fourier analysis, 2. Edition, Springer-Verlag, 1990, ISBN 3-540-52345-6
• Hörmander, Lars - The analysis of linear partial differential operators 3.. Pseudo-differential operators, Springer-Verlag, Berlin, 1994, ISBN 978-3-540-49937-4