K-Funktion

Die $K$-Funktion ist in der Mathematik eine spezielle Funktion, die üblicherweise mit $K(z)$ bezeichnet wird. Sie verallgemeinert die Hyperfakultät $H(n)$ auf die komplexen Zahlen; analog der komplexen Erweiterung der Fakultätsfunktion zur Gammafunktion.

Die Hyperfakultät einer natürlichen Zahl $n$ ist definiert durch

$H(n)=\prod _{i=1}^n{i}^i=1^1{2}^2{3}^3{4}^4\cdots n^n,n\in \mathbb{N}.$

Für die $K$-Funktion soll nun gelten

$K(n+1)=H(n),n\in \mathbb{N},$

und sie soll auf den Zahlenbereich der komplexen Zahlen erweitert werden.

Definitionen

Eine mögliche Definition der $K$-Funktion lautet:

$K(z)=(2\pi {)}^{(-z+1)/2}\exp [(\genfrac{}{}{0ex}{}{z}{2})+\underset{0}{\overset{z-1}{\int }}\ln (\mathrm{\Gamma }(t+1))\mathrm{d}t],$

wobei $(\genfrac{}{}{0ex}{}{z}{2})$ für die komplexe Verallgemeinerung des Binomialkoeffizienten und Γ für die Gammafunktion steht.

Eine andere Möglichkeit bietet

$K(z)=\exp [{\zeta }^{\prime }(-1,z)-{\zeta }^{\prime }(-1)],$

wobei $\zeta (z)$ für die riemannsche Zetafunktion und $\zeta (a,z)$ für die hurwitzsche Zeta-Funktion stehen (es werden jeweils die Ableitungen gebraucht.)

Die Verwandtschaft der $K$-Funktion zur Gammafunktion und der barnesschen $G$-Funktion wird durch die Formel

$K(n)=\frac{(\mathrm{\Gamma }(n){)}^{n-1}}{G(n)}$

zum Ausdruck gebracht.

Werte

Für natürliche $n$ stimmen die Werte $K(n)$ der K-Funktion definitionsgemäß mit dem Wert $H(n-1)$ der Hyperfakultätsfunktion überein. Die ersten dieser Werte sind

1, 1, 4, 108, 27648, 86400000, 4031078400000, 3319766398771200000, … (Vorlage:OEIS).

Der Wert $K(\frac{1}{2})$ ist explizit gegeben durch

$K(\frac{1}{2})=\frac{A^{3/2}}{2^{1/24}\cdot e^{1/8}}$ = 1,2451432494…

wobei $A$ für die Konstante von Glaisher-Kinkelin steht.

Weitere Zusammenhänge

Mit der barnesschen G-Funktion $G(z)$ gilt

$K(z)\cdot G(z)=\exp \{(z-1)\cdot \log [\mathrm{\Gamma }(z)]\},$

für alle $z\in ℂ.$

Benoit Cloitre zeigte 2003 folgende Formel:

$\frac{1}{K(n)}=(-1{)}^n\det \left|\begin{array}{ccccc}-1& -1& -1& \cdots & -1\\ \frac{1}{2}& \frac{1}{4}& \frac{1}{8}& \cdots & \frac{1}{2^n}\\ -\frac{1}{3}& -\frac{1}{9}& -\frac{1}{27}& \cdots & -\frac{1}{3^n}\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ \frac{(-1{)}^n}{n}& \frac{(-1{)}^n}{n^2}& \frac{(-1{)}^n}{n^3}& \cdots & \frac{(-1{)}^n}{n^n}\end{array}\right|$.

Literatur

• Hermann Kinkelin: Ueber eine mit der Gammafunction verwandte Transcendente und deren Anwendung auf die Integralrechnung, Journal für die reine und angewandte Mathematik 57, 1860, 18, S. 122–138 (online)

Weblinks

• Vorlage:MathWorld