Barnessche G-Funktion

Barnessche $G$-Funktion entlang der realen x-Achse

Die Barnessche $G$-Funktion, typischerweise mit $G(z)$ bezeichnet, ist eine Funktion, die eine Erweiterung der Superfakultäten auf die komplexen Zahlen darstellt. Sie steht in Beziehung zur Gammafunktion, der $K$-Funktion und der Konstanten von Glaisher-Kinkelin und ist nach dem Mathematiker Ernest William Barnes benannt.

Formal ist die Barnessche $G$-Funktion in der Form eines Weierstraß-Produkts definiert als

$G(z+1)=(2\pi {)}^{z/2}{e}^{-[z(z+1)+\gamma z^2]/2}\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\left[{(1+\frac{z}{n})}^n{e}^{-z+z^2/(2n)}\right]$

wobei $\gamma$ die Euler-Mascheroni-Konstante bezeichnet.

Differenzengleichung, Funktionalgleichung und spezielle Werte

Die Barnessche $G$-Funktion erfüllt die Differenzengleichung

$G(z+1)=\mathrm{\Gamma }(z)G(z)$

mit der Normierung $G(1)=1.$ Die Differenzengleichung impliziert, dass $G$ die folgenden Werte für ganzzahlige Argumente annimmt:

$G(n)=\{\begin{array}{cc}0,& \text{falls }n=0,-1,-2,\dots \\ \prod _{i=0}^{n-2}i!,& \text{falls }n=1,2,\dots \end{array}$

so dass

$G(n)=\frac{(\mathrm{\Gamma }(n){)}^{n-1}}{K(n)}$

wobei $\mathrm{\Gamma }(n)$ die Gammafunktion und $K(n)$ die K-Funktion bezeichnen. Die Differenzengleichung definiert die $G$-Funktion eindeutig, wenn die Konvexitätsbedingung

$(\mathrm{\forall }x\ge 1)\frac{{\mathrm{d}}^3}{\mathrm{d}{x}^3}\log (G(x))\ge 0$

gestellt wird.

Die Differenzengleichung der $G$-Funktion und die Funktionalgleichung der Gamma-Funktion liefern die folgende Funktionalgleichung für die $G$-Funktion, wie ursprünglich von Hermann Kinkelin bewiesen wurde:

$G(1-z)=G(1+z)\frac{1}{(2\pi {)}^z}\exp \underset{0}{\overset{z}{\int }}\pi t\cot \pi t\mathrm{d}t.$

Multiplikationsformel

Wie die Gamma-Funktion erfüllt auch die $G$-Funktion eine Multiplikationsformel:

$G(nz)=K(n)n^{n^2{z}^2/2-nz}(2\pi {)}^{-\frac{n^2-n}{2}z}\prod _{i=0}^{n-1}\prod _{j=0}^{n-1}G(z+\frac{i+j}{n})$

wobei $K(n)$ eine Funktion ist, die durch

$K(n)=e^{-(n^2-1){\zeta }^{\prime }(-1)}\cdot n^{\frac{5}{12}}\cdot (2\pi {)}^{(n-1)/2}=(A{e}^{-\frac{1}{12}}{)}^{n^2-1}\cdot n^{\frac{5}{12}}\cdot (2\pi {)}^{(n-1)/2}.$

gegeben ist. Hierbei ist ${\zeta }^{\prime }$ die Ableitung der Riemannschen Zeta-Funktion und $A$ die Konstante von Glaisher-Kinkelin.

Asymptotische Entwicklung

Die Funktion $\log G(z+1)$ hat die folgende asymptotische Entwicklung, die von Barnes gefunden wurde:

$\log G(z+1)=\frac{1}{12}-\log A+\frac{z}{2}\log 2\pi +(\frac{z^2}{2}-\frac{1}{12})\log z-\frac{3z^2}{4}+\sum _{k=1}^N\frac{B_{2k+2}}{4k(k+1)z^{2k}}+O\left(\frac{1}{z^{2N+2}}\right).$

Hierbei bezeichnet $B_k$ die Bernoulli-Zahlen und $A$ die Konstante von Glaisher-Kinkelin. (Man beachte, dass zur Zeit von Barnes die Bernoulli-Zahl $B_{2k}$ als $(-1{)}^{k+1}{B}_k$ geschrieben wurde. Diese Konvention wird nicht länger verwendet.) Die Entwicklung ist gültig für $z$ in jedem Sektor, der nicht die negative reelle Achse enthält.

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