Lie-Ableitung

In der Analysis bezeichnet die Lie-Ableitung (nach Sophus Lie) die Ableitung eines Vektorfeldes oder allgemeiner eines Tensorfeldes entlang eines Vektorfeldes. Auf dem Raum der Vektorfelder wird durch die Lie-Ableitung eine Lie-Klammer definiert, die Jacobi-Lie-Klammer genannt wird. Der Raum der Vektorfelder wird durch diese Operation zu einer Lie-Algebra.

Motivation

In der Allgemeinen Relativitätstheorie und in der geometrischen Formulierung der Hamiltonschen Mechanik wird die Lie-Ableitung verwendet, um Symmetrien aufzudecken, diese zur Lösung von Problemen auszunutzen und beispielsweise Konstanten der Bewegung zu finden.

Die Definition der Lie-Ableitung ist wie folgt motiviert: $T$ sei ein Feld auf einer Mannigfaltigkeit $M$, dessen Symmetrie untersucht werden soll. Die Punkte $P_0$ aus $M$ mögen in einem Koordinatensystem $K_0$ die Koordinaten ${{𝒙}_0}_{K_0}$ haben. Es möge eine glatte Verschiebung (Fluss) $\varphi :M\times R\to M$ geben, die in Abhängigkeit eines Parameters $t$ jedem beliebigen Punkt $P_0$, in glatter Weise Punkte $P_t$ mit den Koordinaten ${{𝒙}_t}_{K_0}$ zuordnet. Weiterhin führen wir Koordinatensysteme $K_t$ ein, so dass die Punkte $P_t$ in $K_t$ die gleichen Koordinatenwerte haben, wie die Punkte $P_0$ in $K_0$. Diese Koordinatensysteme sind demnach durch die Koordinatentransformation ${{𝒙}_0}_{K_0}={{𝒙}_t}_{K_t}$ definiert.

Eine Symmetrie des Feldes $T$ liegt dann vor, wenn bei der Verschiebung $P_0\to P_t$ die Komponenten ${𝑻}_{K_t}(P_t)$ des Feldes $T$ am Punkt $P_t$, ausgedrückt in den Koordinaten $K_t$ die gleichen Werte haben, wie die Komponenten von $T$ am Punkt $P_0$ ausgedrückt im Koordinatensystem $K_0$ . Die Bedingungsgleichung für die Symmetrie des Feldes ist demnach ${𝑻}_{K_0}(P_0)={𝑻}_{K_t}(P_t)$.

Setzt man dieses Konzept für infinitesimale Verschiebungen um, so lässt sich mit Hilfe des Tangentialvektorenfeldes $𝑿$ zum Fluss $\varphi$ die Verschiebung eines Punktes $P_0\to P_{\epsilon }$ in Koordinaten als ${𝒙}_{\epsilon }={𝒙}_0+\epsilon 𝑿$ schreiben.

Das Koordinatensystem $K_{\epsilon }$ in seinen geforderten Eigenschaften wird durch die Koordinatentransformation ${𝒙}_{\epsilon }={𝒙}_0-\epsilon 𝑿$ definiert. Die Symmetriebedingung des Vektorfeldes $T$ ist dann ${𝑻}_{K_{\epsilon }}(P_{\epsilon })-{𝑻}_{K_0}(P_0)=0$. Der Koeffizient des in $\epsilon$ linearen Gliedes ist per Definition die Lie-Ableitung von $T$ in Richtung $𝑿$

${ℒ}_{X}T:=\underset{\epsilon \to 0}{\lim }\frac{{𝑻}_{K_{\epsilon }}(P_{\epsilon })-{𝑻}_{K_0}(P_0)}{\epsilon }$.

Für Felder $T$ mit einer zu $𝑿$ gehörigen Symmetrie verschwindet die Lie-Ableitung. In dem Sinne liefert der Ausdruck ${ℒ}_{X}T=0$ ein Kriterium für die Symmetrie eines Vektorfeldes $T$.

Lie-Ableitung für Funktionen

Ist $X$ ein Vektorfeld, so ist die Lie-Ableitung einer differenzierbaren Funktion $f$ die Anwendung von $X$ auf $f$:

${ℒ}_{X}f=Xf$.

Genauer: Es seien $M$ eine $n$-dimensionale ${𝒞}^{\mathrm{\infty }}$-Mannigfaltigkeit, $f:M\to ℝ$ eine glatte Funktion und $X$ ein glattes Vektorfeld auf $M$. Die Lie-Ableitung ${ℒ}_{X}f(p)$ der Funktion $f$ nach $X$ im Punkt $p\in M$ ist definiert als die Richtungsableitung von $f$ nach $X(p)$:

${ℒ}_{X}f(p):=X_p(f)=d_{p}f(X(p))$

In lokalen Koordinaten $(x_1,\dots ,x_n):U\subseteq M\to {ℝ}^n$ lässt sich das Vektorfeld darstellen als

$X=\sum _{j=1}^n{X}_j\frac{\partial }{\partial x_j}$, mit $X_j:U\to ℝ$.

Für die Lie-Ableitung ergibt sich dann

${ℒ}_{X}f(p)=\sum _{j=1}^n{X}_j(p)\frac{\partial f}{\partial x_j}(p)$.

Lie-Ableitung von Vektorfeldern

Definition

Seien $X$ und $Y$ zwei Vektorfelder an der $n$-dimensionalen glatten Mannigfaltigkeit $M$ und $F_t$ der Fluss des Vektorfelds $X$. Dann ist die Lie-Ableitung ${ℒ}_{X}Y$ von $Y$ in Richtung $X$ definiert durch

${ℒ}_{X}Y={\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}|}_{t=0}(F_t^{*}Y)$,

wobei $F_t^{*}$ den Rücktransport des Flusses $F_t$ meint.

Eigenschaften

Lie-Klammer

Sind $X$ und $Y$ wieder zwei Vektorfelder, dann gilt für die Lie-Ableitung die Identität

$({ℒ}_{X}Y)f=X(Y(f))-Y(X(f))$,

wobei $f$ eine glatte Funktion auf einer offenen Teilmenge der zugrundeliegenden Mannigfaltigkeit ist. Aus dieser Gleichung kann gezeigt werden, dass $(X,Y)\mapsto {ℒ}_{X}Y$ die Eigenschaften einer Lie-Klammer erfüllt. Daher schreibt man auch $[X,Y]:={ℒ}_{X}Y$. Insbesondere bildet also die Menge der Vektorfelder mit der Lie-Ableitung eine Lie-Algebra und ihre Lie-Klammer $[\cdot ,\cdot ]$ wird Jacobi-Lie-Klammer genannt.

Manchmal definiert man die Lie-Ableitung beziehungsweise Lie-Klammer direkt durch den Term $X(Y(f))-Y(X(f))$. Dabei wird manchmal auch die Umgekehrte Vorzeichenkonvention, also $[X,Y]:=Y\circ X-X\circ Y$ verwendet.

Lokale Koordinaten

In lokalen Koordinaten haben die Vektorfelder $X$ beziehungsweise $Y$ die Darstellungen

$X=\sum _{j=1}^n{X}_j\frac{\partial }{\partial x_j}$

beziehungsweise

$Y=\sum _{j=1}^n{Y}_j\frac{\partial }{\partial x_j}$.

Für die Lie-Ableitung beziehungsweise Lie-Klammer gilt dann

$[X,Y]=\sum _{j=1}^n(\sum _{k=1}^n{X}_k\frac{\partial Y_j}{\partial x_k}-\sum _{k=1}^n{Y}_k\frac{\partial X_j}{\partial x_k})\frac{\partial }{\partial x_j}.$

Eigenschaften und Lie-Algebra

Der Vektorraum ${𝒞}^{\mathrm{\infty }}(M,ℝ)$ aller glatten Funktionen $M\to ℝ$ ist bezüglich der punktweisen Multiplikation eine Algebra. Die Lie-Ableitung bezüglich eines Vektorfeldes $X$ ist dann eine $ℝ$-lineare Derivation ${ℒ}_X:{𝒞}^{\mathrm{\infty }}(M,ℝ)\to {𝒞}^{\mathrm{\infty }}(M,ℝ)$, d. h., sie hat die Eigenschaften

• ${ℒ}_X$ ist $ℝ$-linear
• ${ℒ}_X(fg)=({ℒ}_{X}f)g+f{ℒ}_{X}g$ (Leibniz-Regel)

Bezeichne $𝒳(M)$ die Menge aller glatten Vektorfelder auf $M$, dann ist die Lie-Ableitung auch eine $ℝ$-lineare Derivation auf ${𝒞}^{\mathrm{\infty }}(M,ℝ)\times 𝒳(M)$, und es gilt:

• ${ℒ}_X(fY)=({ℒ}_{X}f)Y+f{ℒ}_{X}Y$ (Leibniz-Regel)
• $[X,[Y,Z]]={ℒ}_X[Y,Z]=[{ℒ}_{X}Y,Z]+[Y,{ℒ}_{X}Z]=[[X,Y],Z]+[Y,[X,Z]]$ (Jacobi-Identität)

Dadurch wird $𝒳(M)$ zu einer Lie-Algebra.

Lie-Ableitung von Tensorfeldern

Definition

Für ein Tensorfeld $T$ und ein Vektorfeld $X$ mit lokalem Fluss ${\mathrm{\Phi }}_t$ ist die Lie-Ableitung von $T$ bezüglich $X$ definiert als

${ℒ}_{X}T=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{\mathrm{\Phi }}_t^{*}T{|}_{t=0}.$

Eigenschaften

Die Lie-Ableitung ${ℒ}_X$ ist $ℝ$-linear in $X$ und für festes $X$ eine Derivation der Tensoralgebra, die mit der Kontraktion verträglich ist. Die Lie-Ableitung ist dadurch und durch ihre Werte auf Funktionen und Vektorfeldern bereits eindeutig charakterisiert.

Im Unterschied zu einem Zusammenhang ist ${ℒ}_X$ nicht ${𝒞}^{\mathrm{\infty }}$-linear in $X$.

Differentialformen

Sei $M$ eine ${𝒞}^{\mathrm{\infty }}$-Mannigfaltigkeit, $X$ ein Vektorfeld auf $M$ und $\alpha \in {\mathrm{\Lambda }}^{k+1}(M)$ eine $(k+1)$-Differentialform auf $M$. Durch Evaluation kann man eine Art inneres Produkt zwischen $X$ und $\alpha$ definieren:

$(i_X\alpha )(X_1,\dots ,X_k)=\alpha (X,X_1,\dots ,X_k)$

und erhält die Abbildung:

$i_X:{\mathrm{\Lambda }}^{k+1}(M)\to {\mathrm{\Lambda }}^k(M),\alpha \mapsto i_X\alpha$

Diese Abbildung hat die folgenden Eigenschaften:

• $i_X$ ist $ℝ$-linear,
• für beliebiges $f\in {\mathrm{\Lambda }}^0(M)$ gilt $i_{fX}\alpha =f{i}_X\alpha$,
• für eine beliebige Differentialform $\beta$ über $M$ und $\alpha \in {\mathrm{\Lambda }}^k(M)$ gilt

$i_X(\alpha \wedge \beta )=(i_X\alpha )\wedge \beta +(-1{)}^k\alpha \wedge (i_X\beta )$.

Weiter oben wurde die Lie-Ableitung bezüglich eines Vektorfeldes $X$ für Funktionen über $M$ definiert:

${ℒ}_{X}f=i_{X}df$.

Für echte Differentialformen kann die Lie-Ableitung bezüglich eines Vektorfeldes $X$ durch

${ℒ}_X\alpha =(i_X\circ d+d\circ i_X)\alpha$

berechnet werden. Diese Gleichung kann aus der Definition der Lie-Ableitung für Tensorfelder hergeleitet werden. Sie trägt den Namen Cartan-Formel.

Sie hat die folgenden Eigenschaften:

• ${ℒ}_{fX}\alpha =f{ℒ}_X\alpha +df\wedge i_X\alpha$
• ${ℒ}_X(\alpha \wedge \beta )=({ℒ}_X\alpha )\wedge \beta +\alpha \wedge ({ℒ}_X\beta )$
• $[{ℒ}_X,{ℒ}_Y]\alpha :={ℒ}_X{ℒ}_Y\alpha -{ℒ}_Y{ℒ}_X\alpha ={ℒ}_{[X,Y]}\alpha$
• $[{ℒ}_X,i_Y]\alpha =[i_X,{ℒ}_Y]\alpha =i_{[X,Y]}\alpha$

Literatur

• Uwe Storch, Hartmut Wiebe: Lehrbuch der Mathematik. Band 4: Analysis auf Mannigfaltigkeiten – Funktionentheorie – Funktionalanalysis. Spektrum, Heidelberg 2001, ISBN 3-8274-0137-2.
• Sylvestre Gallot, Dominique Hulin, Jacques Lafontaine: Riemannian Geometry. 2. Auflage. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 1990, ISBN 3-540-52401-0