Verzweigung (Algebra)

Verzweigung ist ein mathematischer Begriff, der die Gebiete Algebra, algebraische Geometrie, algebraische Zahlentheorie und komplexe Analysis miteinander verbindet.

Namengebendes Beispiel

Es sei $n > 1$ eine natürliche Zahl und $f : ℂ \to ℂ$ die Funktion $z \mapsto w = z^{n}$ . Ist nun $w \neq 0$ und $U$ eine (hinreichend kleine) Umgebung von $w$ , so besteht das Urbild von $U$ aus $n$ Zusammenhangskomponenten, die durch eine Rotation um $2 π / n$ , also Multiplikation mit einer $n$ -ten Einheitswurzel auseinander hervorgehen. Bewegt sich $w \to 0$ , so bewegen sich auch die Urbilder gegen 0, um dann für $w_{0} = 0$ zu einem einzigen Urbild ${0}$ zu verschmelzen. 0 ist also gewissermaßen der Verzweigungspunkt für die $n$ Zweige. (Man beachte, dass die Zweige lokal bei 0 nicht getrennt sind, auch wenn man die 0 entfernt.)

Für den Übergang zu einer algebraischen Sichtweise sei nun $g (w)$ eine holomorphe Funktion, die in einer Umgebung der 0 definiert ist. Hat $g$ bei 0 eine $k$ -fache Nullstelle, so hat die zurückgezogene Funktion

f^{*} (g) = g \circ f, z \mapsto g (z^{n})

eine $n k$ -fache Nullstelle. Dieses Zurückziehen lokal definierter holomorpher Funktionen entspricht einem Ringhomomorphismus

f^{*} : ℂ {w} \to ℂ {z}, w \mapsto z^{n} .

(Dabei bezeichnet $ℂ {w}$ den Ring der Potenzreihen, deren Konvergenzradius positiv ist.) Die Nullstellenordnung ist eine diskrete Bewertung auf den beteiligten Ringen, und es gilt wie gesagt

{ord}_{z = 0} f^{*} (g) = n \cdot {ord}_{w = 0} g .

Diese Eigenschaft ist charakteristisch für Verzweigungspunkte.

Verzweigung im Kontext von Erweiterungen bewerteter Körper

Es sei $K$ ein Körper mit einer diskreten (Exponential-)Bewertung $v : K^{\times} \to ℝ$ . Weiter seien

𝒪_{K} = {x \in K ∣ v (x) \geq 0}

bzw.

𝔪_{K} = {x \in K ∣ v (x) > 0}

der Bewertungsring bzw. das Bewertungsideal von $K$ , $π_{K}$ eine Uniformisierende, d. h. ein Erzeuger von $𝔪_{K}$ , und $κ = 𝒪_{K} / 𝔪_{K}$ der Restklassenkörper. Weiter sei $L$ eine endliche Erweiterung von $K$ mit diskreter Bewertung $w : L^{\times} \to ℝ$ , die $v$ fortsetzt, d. h. $w |_{K} = v$ . Schließlich seien $𝒪_{L}, 𝔪_{L}, π_{L}, λ$ analog zu oben.

Der Verzweigungsindex von $L / K$ ist definiert als

e_{w / v} = \frac{v (π_{K})}{w (π_{L})} = (w (L^{\times}) : v (K^{\times}))

Ist er gleich 1, so heißt die Erweiterung unverzweigt. Sein Gegenstück ist der Trägheitsgrad $f_{w / v} = [λ : κ]$ .

Eigenschaften

Ist die Erweiterung $L / K$ separabel, und durchläuft $w$ alle möglichen Fortsetzungen von $v$ , so gilt die fundamentale Gleichung^[1]

\sum_{w / v} e_{w / v} f_{w / v} = [L : K] .

Ist $K$ darüber hinaus vollständig, so ist $w$ eindeutig bestimmt^[2] als

w (x) = \frac{1}{[L : K]} v (N_{L / K} (x)),

und es gilt^[3]

e_{w / v} f_{w / v} = [L : K] .

Es seien nun $K$ vollständig und $L / K$ galoissch, und außerdem sei $λ / κ$ separabel. (Diese Voraussetzungen sind beispielsweise für lokale Körper erfüllt.) Dann ist $λ / κ$ sogar galoissch, und es gibt eine kurze exakte Sequenz^[4]

1 \to I \to G a l (L / K) \to G a l (λ / κ) \to 1;

dabei bezeichnet man den Kern

I

als Trägheitsgruppe. Ihr Fixkörper

T

ist die maximale unverzweigte Teilerweiterung^[5] von

L / K

, und im Fall endlicher Erweiterungen gilt

[L : T] = # I = e, [T : K] = f .

Insbesondere gilt: Ist

L / K

unverzweigt, so ist

G a l (L / K) ≅ G a l (λ / κ) .

Ist

K^{n r}

die maximale unverzweigte Erweiterung (in einem separablen Abschluss

K^{s e p}

von

K

), so gilt entsprechend

G a l (K^{n r} / K) ≅ G a l (κ^{s e p} / κ) .

Im Fall lokaler Körper ist letztere Gruppe kanonisch isomorph zu

\hat{ℤ}

, hat also eine besonders einfache Struktur. Da die Galoisgruppe

G a l (κ^{s e p} / κ)

im Frobenius-Automorphismus

x \mapsto x^{q}

mit

q = # κ

einen kanonischen Erzeuger besitzt, gibt es auch in

G a l (K^{n r} / K)

ein kanonisches Element, das ebenfalls als Frobenius-Automorphismus bezeichnet wird.

Verzweigung im Kontext von Erweiterungen von Dedekindringen

Es sei $A$ ein Dedekindring mit Quotientenkörper $K$ , $L$ eine endliche separable Erweiterung von $K$ und $B$ der ganze Abschluss von $A$ in $L$ ; $B$ ist wieder ein Dedekindring.^[6]

Einer der wichtigsten Spezialfälle ist $A = ℤ$ , $K = ℚ$ , $L$ ein Zahlkörper und $B$ sein Ganzheitsring.

Weiter sei $𝔭$ ein maximales Ideal von $A$ . Dann lässt sich $𝔭 B$ auf eindeutige Weise als Produkt von Potenzen verschiedener Primideale von $B$ schreiben:

𝔭 B = 𝔓_{1}^{e_{1}} \dots 𝔓_{k}^{e_{k}} .

Die Zahlen $e_{i}$ heißen Verzweigungsindizes, die Grade der Restklassenkörpererweiterungen $f_{i} = [B / 𝔓_{i} : A / 𝔭]$ Trägheitsgrade.

Ist $e_{i} = 1$ und die Erweiterung der Restklassenkörper separabel, so heißt $𝔓_{i}$ unverzweigt. (Im Fall von Zahlkörpern und Funktionenkörpern über endlichen Körpern ist die Restklassenkörperweiterung stets separabel.)
Ist $f_{i} = 1$ , so heißt $𝔓_{i}$ rein verzweigt.
Sind alle $𝔓_{i}$ unverzweigt, so heißt $𝔭$ unverzweigt. $𝔭$ zerfällt dann in ein Produkt verschiedener Primideale.
Sind alle Primideale (ungleich null) von $K$ unverzweigt, so heißt die Erweiterung $L / K$ unverzweigt.

Eigenschaften

Ein Primideal $𝔓$ von $L$ über einem Primideal $𝔭$ von $K$ ist genau dann unverzweigt in dem hier definierten Sinne, wenn die Erweiterung $L / K$ mit den durch $𝔓$ bzw. $𝔭$ definierten Bewertungen unverzweigt im bewertungstheoretischen Sinne ist.
Es gilt die fundamentale Gleichung^[7]

[L : K] = \sum_{i = 1}^{k} e_{i} f_{i} .

Es gibt stets nur endlich viele verzweigte Primideale in $K$ .^[8] Ein Primideal in $K$ ist genau dann verzweigt, wenn es die Diskriminante teilt;^[9] ein Primideal in $L$ ist genau dann verzweigt, wenn es die Differente teilt.^[10]
Die einzige unverzweigte Erweiterung von $ℚ$ ist $ℚ$ selbst.^[11]
Ist $L / K$ eine Galoiserweiterung globaler Körper und $𝔭$ unverzweigt, so gibt es analog zum lokalen Fall für jedes Primideal $𝔓$ über $𝔭$ einen Frobenius-Automorphismus $φ_{𝔓} \in G a l (L / K)$ , der die Zerlegungsgruppe von $𝔓$ erzeugt. Er ist die Grundlage für das Artinsymbol der Klassenkörpertheorie.^[12]

Beispiel

Ein verhältnismäßig einfacher Dedekindring ist der Ring der Eisensteinzahlen. Betrachtet man sie, wie üblich, als Erweiterung der ganzen Zahlen, dann ist hier genau das von der Primzahl 3 (im Ring der ganzen Zahlen) erzeugte Primideal verzweigt.

Unverzweigte Schemamorphismen

Es seien $X$ und $Y$ Schemata und $f : X \to Y$ ein Morphismus lokal endlicher Präsentation. Dann heißt $f$ unverzweigt, falls eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt ist:^[13]

$Ω_{X / Y}^{1} = 0$
Für einen (und damit für jeden) Morphismus $g : Y \to Z$ ist

f^{*} : Ω_{Y / Z}^{1} \to Ω_{X / Z}^{1}

surjektiv.

Die Fasern von $f$ über Punkten $y \in Y$ sind disjunkte Vereinigungen von Spektren endlicher separabler Körpererweiterungen von $κ (y)$ .
Die Diagonale $X \to X \times_{Y} X$ ist eine offene Einbettung.
Ist $T$ ein affines Schema und $T_{0}$ ein abgeschlossenes Unterschema, das durch eine nilpotente Idealgarbe definiert wird, so ist die induzierte Abbildung

{H o m}_{Y} (T, X) \to {H o m}_{Y} (T_{0}, X)

injektiv.

Der Morphismus $f$ heißt unverzweigt im Punkt $x \in X$ , wenn es eine offene Umgebung $U$ von $x$ in $X$ gibt, so dass $f |_{U}$ unverzweigt ist. Unverzweigtheit in einem Punkt $x$ kann auch anders charakterisiert werden (es sei $y = f (x)$ ):^[14]

$Ω_{X / Y, x}^{1} = 0$
Die Diagonale $X \to X \times_{Y} X$ ist ein lokaler Isomorphismus bei $x$ .
$𝒪_{X, x} / 𝔪_{y} 𝒪_{X, x}$ ist ein Körper, der eine endliche separable Erweiterung von $κ (y)$ ist.

Die Unverzweigtheit von $f$ im Punkt $x$ hängt nur von der Faser $f^{- 1} (y)$ ab.

Eigenschaften

Unverzweigte Morphismen sind lokal quasiendlich.^[15]
Ist $Y$ zusammenhängend und $f : X \to Y$ unverzweigt und separiert, so entsprechen die Schnitte von $f$ eineindeutig den Zusammenhangskomponenten von $X$ , die durch $f$ isomorph auf $Y$ abgebildet werden.^[16]

Bedeutung

Algebraische Geometrie

Ist $X$ ein Schema über einem diskret bewerteten Körper $K$ mit Bewertungsring $V$ , so werden häufig Modelle von $X$ über $V$ betrachtet, d. h. Schemata $𝒳$ über $V$ mit $X ≅ 𝒳 \otimes_{V} K$ . Ist nun $L / K$ eine unverzweigte Erweiterung und $W$ der Bewertungsring von $L$ , so ist der Morphismus $S p e c W \to S p e c V$ und damit auch der Morphismus $𝒳_{W} : = 𝒳 \otimes_{V} W \to 𝒳$ étale und surjektiv, folglich übertragen sich viele Eigenschaften von $𝒳$ auf das Modell $𝒳_{W}$ von $X_{L}$ .

Literatur

Jürgen Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Springer-Verlag, Berlin 1992. ISBN 3-540-54273-6.
A. Grothendieck, J. Dieudonné: Éléments de géométrie algébrique. Publications mathématiques de l’IHÉS 4, 8, 11, 17, 20, 24, 28, 32 (1960–1967)

Quellen

↑ Jürgen Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Springer-Verlag, Berlin 1992. ISBN 3-540-54273-6, Satz (II.8.5), S. 173
↑ Jürgen Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Springer-Verlag, Berlin 1992. ISBN 3-540-54273-6, Theorem (II.6.2), S. 150
↑ Jürgen Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Springer-Verlag, Berlin 1992. ISBN 3-540-54273-6, Satz (II.6.8), S. 157
↑ Jürgen Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Springer-Verlag, Berlin 1992. ISBN 3-540-54273-6, Satz (II.9.9), S. 181
↑ Jürgen Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Springer-Verlag, Berlin 1992. ISBN 3-540-54273-6, Satz (II.9.11), S. 182
↑ Jürgen Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Springer-Verlag, Berlin 1992. ISBN 3-540-54273-6, Satz (I.8.1), S. 47
↑ Jürgen Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Springer-Verlag, Berlin 1992. ISBN 3-540-54273-6, Satz (I.8.2), S. 48
↑ Jürgen Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Springer-Verlag, Berlin 1992. ISBN 3-540-54273-6, Satz (I.8.4), S. 52
↑ Jürgen Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Springer-Verlag, Berlin 1992. ISBN 3-540-54273-6, Korollar (III.2.12), S. 213
↑ Jürgen Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Springer-Verlag, Berlin 1992. ISBN 3-540-54273-6, Theorem (III.2.6), S. 210
↑ Jürgen Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Springer-Verlag, Berlin 1992. ISBN 3-540-54273-6, Satz (III.2.18), S. 218
↑ Jürgen Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Springer-Verlag, Berlin 1992. ISBN 3-540-54273-6, Aufgabe I.9.2, S. 61, sowie Abschnitt VI.7, S. 424ff.
↑ EGA IV, 17.4.2, 17.2.2, 17.1.1, 17.3.1
↑ EGA IV, 17.4.1
↑ EGA IV, 17.4.3
↑ EGA IV, 17.4.9

[1] Jürgen Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Springer-Verlag, Berlin 1992. ISBN 3-540-54273-6, Satz (II.8.5), S. 173

[2] Jürgen Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Springer-Verlag, Berlin 1992. ISBN 3-540-54273-6, Theorem (II.6.2), S. 150

[3] Jürgen Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Springer-Verlag, Berlin 1992. ISBN 3-540-54273-6, Satz (II.6.8), S. 157

[4] Jürgen Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Springer-Verlag, Berlin 1992. ISBN 3-540-54273-6, Satz (II.9.9), S. 181

[5] Jürgen Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Springer-Verlag, Berlin 1992. ISBN 3-540-54273-6, Satz (II.9.11), S. 182

[6] Jürgen Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Springer-Verlag, Berlin 1992. ISBN 3-540-54273-6, Satz (I.8.1), S. 47

[7] Jürgen Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Springer-Verlag, Berlin 1992. ISBN 3-540-54273-6, Satz (I.8.2), S. 48

[8] Jürgen Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Springer-Verlag, Berlin 1992. ISBN 3-540-54273-6, Satz (I.8.4), S. 52

[9] Jürgen Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Springer-Verlag, Berlin 1992. ISBN 3-540-54273-6, Korollar (III.2.12), S. 213

[10] Jürgen Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Springer-Verlag, Berlin 1992. ISBN 3-540-54273-6, Theorem (III.2.6), S. 210

[11] Jürgen Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Springer-Verlag, Berlin 1992. ISBN 3-540-54273-6, Satz (III.2.18), S. 218

[12] Jürgen Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Springer-Verlag, Berlin 1992. ISBN 3-540-54273-6, Aufgabe I.9.2, S. 61, sowie Abschnitt VI.7, S. 424ff.

[13] EGA IV, 17.4.2, 17.2.2, 17.1.1, 17.3.1

[14] EGA IV, 17.4.1

[15] EGA IV, 17.4.3

[16] EGA IV, 17.4.9

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Verzweigung (Algebra)

Inhaltsverzeichnis

Namengebendes Beispiel

Verzweigung im Kontext von Erweiterungen bewerteter Körper

Eigenschaften

Verzweigung im Kontext von Erweiterungen von Dedekindringen

Eigenschaften

Beispiel

Unverzweigte Schemamorphismen

Eigenschaften

Bedeutung

Algebraische Geometrie

Literatur

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