Jacobi-Polynom

Die Jacobi-Polynome (nach Carl Gustav Jacob Jacobi), auch hypergeometrische Polynome, sind eine Menge polynomieller Lösungen des Sturm-Liouville-Problems, die einen Satz orthogonaler Polynome bilden, und zwar auf dem Intervall $[-1,1]$ bezüglich der Gewichtsfunktion $(1-x{)}^{\alpha }(1+x{)}^{\beta }$ mit $\alpha ,\beta >-1$. Sie haben die explizite Form

$P_n^{(\alpha ,\beta )}(x)=\frac{\mathrm{\Gamma }(\alpha +n+1)}{n!\mathrm{\Gamma }(\alpha +\beta +n+1)}\sum _{m=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{m})\frac{\mathrm{\Gamma }(\alpha +\beta +n+m+1)}{\mathrm{\Gamma }(\alpha +m+1)}{\left(\frac{x-1}{2}\right)}^m,$

oder mit Hilfe der verallgemeinerten hypergeometrischen Funktion ${}_2{F}_1$:

$P_n^{(\alpha ,\beta )}(x)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+\alpha }{n}){}_2{F}_1(-n,1+n+\alpha +\beta ;\alpha +1;\frac{1-x}{2}).$

Rodrigues-Formel

$P_n^{(\alpha ,\beta )}(x)=\frac{(-1{)}^n}{2^{n}n!}(1-x{)}^{-\alpha }(1+x{)}^{-\beta }\frac{d^n}{d{x}^n}[(1-x{)}^{\alpha +n}(1+x{)}^{\beta +n}],\alpha ,\beta >-1$

Rekursionsformeln

Man kann die Jacobi-Polynome auch mit Hilfe einer Rekursionsformel bestimmen.

$P_0^{(\alpha ,\beta )}(x)=1$

$P_1^{(\alpha ,\beta )}(x)=\frac{1}{2}(\alpha -\beta +(\alpha +\beta +2)x)$

$a_n^1{P}_{n+1}^{(\alpha ,\beta )}(x)=(a_n^2+a_n^{3}x)P_n^{(\alpha ,\beta )}(x)-a_n^4{P}_{n-1}^{(\alpha ,\beta )}(x)$

mit den Konstanten:

$a_n^1=2(n+1)(n+\alpha +\beta +1)(2n+\alpha +\beta )$

$a_n^2=(2n+\alpha +\beta +1)({\alpha }^2-{\beta }^2)$

$a_n^3=(2n+\alpha +\beta )(2n+\alpha +\beta +1)(2n+\alpha +\beta +2)$

$a_n^4=2(n+\alpha )(n+\beta )(2n+\alpha +\beta +2)$

Eigenschaften

Der Wert für $x=1$ ist

$P_n^{(\alpha ,\beta )}(1)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+\alpha }{n})=\frac{\mathrm{\Gamma }(n+\alpha +1)}{\mathrm{\Gamma }(\alpha +1)n!}$.

Es gilt die folgende Symmetriebeziehung

$P_n^{(\alpha ,\beta )}(-x)=(-1{)}^n{P}_n^{(\beta ,\alpha )}(x),$

woraus sich der Wert für $x=-1$ ergibt:

$P_n^{(\alpha ,\beta )}(-1)=(-1{)}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+\beta }{n}).$

Sie erfüllen die Orthogonalitätsbedingung

$\underset{-1}{\overset{1}{\int }}(1-x{)}^{\alpha }(1+x{)}^{\beta }{P}_m^{(\alpha ,\beta )}(x)P_n^{(\alpha ,\beta )}(x)dx=\frac{2^{\alpha +\beta +1}}{2n+\alpha +\beta +1}\frac{\mathrm{\Gamma }(n+\alpha +1)\mathrm{\Gamma }(n+\beta +1)}{\mathrm{\Gamma }(n+\alpha +\beta +1)n!}{\delta }_{nm}.$

Ableitungen

Aus der expliziten Form können die $k$-ten Ableitungen abgelesen werden. Sie ergeben sich als:

$\frac{{\mathrm{d}}^k}{\mathrm{d}{x}^k}{P}_n^{(\alpha ,\beta )}(x)=\frac{\mathrm{\Gamma }(\alpha +\beta +n+1+k)}{2^k\mathrm{\Gamma }(\alpha +\beta +n+1)}{P}_{n-k}^{(\alpha +k,\beta +k)}(x).$

Nullstellen

Die Eigenwerte der symmetrischen Tridiagonalmatrix

$\left(\begin{array}{ccccc}{a}_0& b_1& 0& \dots & 0\\ b_1& a_1& b_2& \ddots & ⋮\\ 0& b_2& \ddots & \ddots & 0\\ ⋮& \ddots & \ddots & \ddots & b_{n-1}\\ 0& \dots & 0& b_{n-1}& a_{n-1}\end{array}\right)$

mit

$a_0=\frac{\beta -\alpha }{2+\alpha +\beta }$

$a_j=\frac{{\beta }^2-{\alpha }^2}{(2j+\alpha +\beta )(2j+2+\alpha +\beta )},j=1,\dots ,n-1$

$b_1=\sqrt{\frac{4(1+\alpha )(1+\beta )}{(2+\alpha +\beta {)}^2(3+\alpha +\beta )}}$

$b_j=\sqrt{\frac{4j(j+\alpha )(j+\beta )(j+\alpha +\beta )}{(2j-1+\alpha +\beta )(2j+\alpha +\beta {)}^2(2j+1+\alpha +\beta )}},j=2,\dots ,n-1$

stimmen mit den Nullstellen von $P_n^{(\alpha ,\beta )}$ überein. Somit bietet der QR-Algorithmus die Möglichkeit, die Nullstellen näherungsweise zu berechnen. Weiterhin kann man beweisen, dass sie einfach sind und im Intervall $(-1,1)$ liegen.

Asymptotische Darstellung

Mit Hilfe der Landau-Symbole lässt sich folgende Formel aufstellen:

$P_n^{(\alpha ,\beta )}(\cos \theta )=\frac{\cos ([n+(\alpha +\beta +1)/2]\theta -[2\alpha +1]\pi /4)}{\sqrt{\pi n}{[\sin (\theta /2)]}^{\alpha +1/2}{[\cos (\theta /2)]}^{\beta +1/2}}+𝒪\left(n^{-3/2}\right),0<\theta <\pi .$

Erzeugende Funktion

Für alle $x\in ℝ,z\in ℂ,|z|<1$ gilt

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{P}_n^{(\alpha ,\beta )}(x)z^n=2^{\alpha +\beta }[f(x,z){]}^{-1}[1-z+f(x,z){]}^{-\alpha }[1+z+f(x,z){]}^{-\beta },f(x,z)=\sqrt{1-2xz+z^2}.$

Die Funktion

$z\mapsto 2^{\alpha +\beta }[f(x,z){]}^{-1}[1-z+f(x,z){]}^{-\alpha }[1+z+f(x,z){]}^{-\beta }$

wird daher als erzeugende Funktion der Jacobi-Polynome bezeichnet.

Spezialfälle

Einige wichtige Polynome können als Spezialfälle der Jacobi-Polynome betrachtet werden:

• für $\alpha =\beta =0$: Legendre-Polynome
• Gegenbauer-Polynome
• Tschebyschow-Polynome erster und zweiter Ordnung
• der Radialterm der Zernike-Polynome

Literatur

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