Gegenbauer-Polynom

Die Gegenbauer-Polynome, auch ultrasphärische Polynome genannt, sind eine Menge orthogonaler Polynome auf dem Intervall $[- 1, 1]$ mit der Gewichtungsfunktion $(1 - x^{2})^{α - 1 / 2}$ , mit $α > - 1 / 2$ . Sie sind benannt nach dem Mathematiker Leopold Gegenbauer und bilden die Lösung der Gegenbauer-Differentialgleichung. Die Polynome haben die Form

C_{n}^{(α)} (z) = \frac{1}{Γ (α)} \sum_{m = 0}^{⌊ n / 2 ⌋} (- 1)^{m} \frac{Γ (α + n - m)}{m! (n - 2 m)!} (2 z)^{n - 2 m},

für $α \neq 0$ , andernfalls

C_{n}^{(0)} (z) = \sum_{m = 0}^{⌊ n / 2 ⌋} (- 1)^{m} \frac{(n - m - 1)!}{m! (n - 2 m)!} (2 z)^{n - 2 m},

Sie lassen sich auch durch eine hypergeometrische Funktion $_{2} F_{1}$ darstellen:

C_{n}^{(α)} (z) = \frac{(2 α + n - 1)!}{(2 α - 1)! n!}_{2} F_{1} (- n, 2 α + n; α + \frac{1}{2}; \frac{1 - z}{2})

Der Wert für $z = 1$ ist

C_{n}^{(α)} (1) = (\binom{n + 2 α - 1}{n}) .

Die ersten Polynome haben die Gestalt:

C_{0}^{(α)} (z) = 1

C_{1}^{(α)} (z) = 2 α z

C_{2}^{(α)} (z) = - α + 2 α (1 + α) z^{2}

C_{3}^{(α)} (z) = - 2 α (1 + α) z + 4 / 3 α (1 + α) (2 + α) z^{3}

Referenzen