Gelfand-Tripel

Das Gelfand-Tripel (auch Gelfandscher Dreier, Banach-Gelfand-Tripel oder ausgerüsteter Hilbert-Raum) bezeichnet in der Funktionalanalysis ein Raum-Tripel $(V,H,V^{\prime }),$ bestehend aus einem Hilbert-Raum $H$, einem topologischen Vektorraum $V$ (zum Beispiel ein Banach-Raum) und seinem topologische Dualraums $V^{\prime }$. Der Raum $V$ wird so gewählt, dass $V$ ein dicht liegender Unterraum von $H$ ist und seine Inklusion stetig ist. Diese Konstruktion hat nun den Vorteil, dass sich Elemente aus $H$ mittels des Darstellungssatzes von Fréchet-Riesz als Elemente des Dualraumes $V^{\prime }$ identifizieren lassen.

Das Gelfand-Tripel ist nach Israel Gelfand benannt.

Definition

Sei $(H,⟨\cdot ,\cdot {⟩}_H)$ ein separabler Hilbert-Raum und $V\subset H$ ein darin dicht liegender topologischer Vektorraum und die Inklusion $i_1:V\hookrightarrow H$ sei stetig. $H^{\prime }$ und $V^{\prime }$ bezeichnen die dazugehörigen Dualräume.

Dann gilt die dichte Inklusion

$V\subset H\subset V^{\prime },$

in dem wir $H$ mit $H^{\prime }$ über die Fréchet-Riesz-Darstellung identifizieren. Daraus folgt, dass die Abbildung $i_2:H^{\prime }\to V^{\prime }$ stetig ist. Das Tripel $(V,H,V^{\prime })$ nennt man Gelfand-Tripel.

Der Schlüsselaspekt des Gelfand-Tripels ist nun die Beziehung zwischen der dualen Paarung auf $V\times V^{\prime }$ und dem Hilbert-Skalarprodukt auf $H\times H$, den es gilt nun für $v\in V\subset H$ und $h\in H\subset V^{\prime }$ die Gleichung

${}_{V^{\prime }}⟨h,v{⟩}_V=⟨h,v{⟩}_H$

Herleitung im Fall wenn V ein reflexiver Banach-Raum ist

Sei $(H,⟨\cdot ,\cdot {⟩}_H)$ ein separabler Hilbert-Raum, $V\subset H$ ein darin dicht liegender reflexiver Banach-Raum und die Inklusion $i_1:V\hookrightarrow H$ sei stetig. Die Separabilität von $H$ garantiert uns die Existenz eines in $H$ dicht liegenden Unterraumes.

Es folgt aus diesen Eigenschaften, dass folgende dichte Inklusion gilt

$V\subset H\subset V^{\prime },$

in dem wir $H$ mit $H^{\prime }$ identifizieren.

Es gilt nun für alle $h\in H,v\in V$

$⟨h,v{⟩}_H={}_{V^{\prime }}⟨h,v{⟩}_V$

wobei die rechte Seite die duale Paarung bezeichnet. Das Tripel $(V,H,V^{\prime })$ ist ein Gelfand-Tripel.

Herleitung der Inklusion

Es lässt sich zeigen, dass auch $H^{\prime }\subset V^{\prime }$ dicht liegt und die Inklusion $i_2:H^{\prime }\hookrightarrow V^{\prime }$ stetig ist (folgt direkt aus der Reflexivität von $V$). Für ein $\phi \in H^{\prime }$ und $x\in H$ definieren wir die duale Paarung

${}_{H^{\prime }}⟨\phi ,x{⟩}_H:=\phi (x).$

Für jedes $\phi \in H^{\prime }$ existiert eine eindeutige Riesz-Darstellung $h_{\phi }\in H$, so dass

${}_{H^{\prime }}⟨\phi ,x{⟩}_H=⟨x,h_{\phi }{⟩}_H$

für alle $x\in H$ gilt. Deshalb können wir $H^{\prime }$ mit $H$ identifizieren $H\cong H^{\prime }$ und daraus folgt die Inklusion

$V\subset H\subset V^{\prime }$

und auch $i_3:H\hookrightarrow V^{\prime }$ ist stetig.

Beispiele und Anwendungen

• Sei $L^2({ℝ}^n)$ ein Lp-Raum, $𝒮({ℝ}^n)$ der Schwartz-Raum und ${𝒮}^{\prime }({ℝ}^n)$ der Raum der temperierten Distributionen. Dann ist das Tripel $(𝒮,L^2,{𝒮}^{\prime })$ ein Gelfand-Tripel.
• Seien ${\ell }^1,{\ell }^2,{\ell }^{\mathrm{\infty }}$ die Folgenräume der beschränkten Folgen. Dann ist das Tripel $({\ell }^1,{\ell }^2,{\ell }^{\mathrm{\infty }})$ ein Gelfand-Tripel.
• Sei $\mathrm{\Omega }\subset {ℝ}^n$ offen, $L^2(\mathrm{\Omega })$ ein Lp-Raum. Mit $H_0^{1,p}(\mathrm{\Omega })$ für $p\in [2,\mathrm{\infty })$ wird der (beschränkte) Sobolew-Raum $H_0^{1,p}(\mathrm{\Omega })=\overline{C_c^{\mathrm{\infty }}(\mathrm{\Omega })}$ und mit $H^{-1,p}:=(H_0^{1,p}(\mathrm{\Omega }){)}^{\prime }$ sein Dualraum bezeichnet. Dann ist $(H_0^{1,p},L^2,H^{-1,p})$ ein Gelfand-Tripel.
• In der White-Noise-Analysis: sei $S_1$ der Kondratiew-Raum der stochastischen Test-Funktionen, $𝒲$ der Raum des weißen Rauschen, $S_{-1}$ der Kondratiew-Raum der stochastischen Distributionen. Dann ist $(S_1,𝒲,S_{-1})$ ein Gelfand-Tripel.

Anwendungen

Sei $(H_0^{1,p},L^2,H^{-1,p})$ das Gelfand-Tripel aus dem vorigen Beispiel. Der Laplace-Operator $\mathrm{\Delta }:C_0^{\mathrm{\infty }}({ℝ}^n)\to L^2({ℝ}^n)$ ist nicht stetig. Sei $A=\mathrm{\Delta }$ die Fortsetzung des Operators auf dem Gelfand-Tripel mit $A:H_0^{1,p}\to H^{-1,p}$, dann ist $A$ stetig.

Negative Norm

Ein Gelfandscher Dreier $(V,H,V^{\prime })$ erlaubt die Konstruktion einer sogenannten negativen Norm. Die negative Norm eines Elementes $y\in H$ wird durch

$\Vert y{\Vert }_{-1}:=\underset{x\in V}{\sup }\frac{|⟨x,y{⟩}_H|}{\Vert x{\Vert }_V}$

definiert und wir notieren den Dualraum ausgestattet mit dieser Norm als $V^{-1}$.

Es lässt sich folgende Ungleichung für $y\in V$ herleiten

$\Vert y{\Vert }_{-1}\le K\Vert y{\Vert }_H\le C\Vert y{\Vert }_V$

für feste Konstanten $K,C>0$.

Literatur

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